회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

복소수

직각 형식
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
절댓값과 편각
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
극형식과 지수 형식
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
나눗셈
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
곱과 몫
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
드무아브르
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n제곱근
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q인 이차방정식
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

방법

  1. 연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
  2. 곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
  3. r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
  4. 거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 공진, Q 인자, 대역폭

고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)

방법

  1. 먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
  2. 회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
  3. 대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
  4. 에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.복소수보통
ReIm55−5−51010−10−10θz

z = −2 + j9의 편각 θ을(를) −180°와 180° 사이의 주값으로 도 단위로 구하시오.

z = −2 + j9
θ = °
2.복소수어려움
ReIm11−1−122−2−2θz

드무아브르의 정리를 이용해 z = 1 − j√3에 대한 z⁹의 실수부를 구하시오.

z = 1 − j√3n = 9
Re(z⁹) =
3.교류 임피던스와 페이저보통
24 V1000 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF

직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 1000 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
φ = °
4.교류 임피던스와 페이저어려움
VfR = 20 ΩL = 10 mHC = 1 µF

직렬 RLC 회로의 R = 20 Ω, L = 10 mH, C = 1 µF이다. 대역폭 B(반전력 주파수 사이 대역의 폭)을(를) Hz로 구하시오.

R = 20 ΩL = 10 mHC = 1 µF
B = Hz
5.교류 전력과 역률보통
120 VR + jXP = 192 W2 A

유도성 부하가 120 V(실효값) 단상 전원에서 2 A와 192 W를 소비한다. 이 부하를 저항 R과 리액턴스 X의 직렬로 모델링한다. X을(를) 구하시오.

V = 120 VI = 2 AP = 192 W
X = Ω
6.교류 전력과 역률어려움
230 V60 Hz부하10 kW, 0.6C100 µFI

단상 부하가 230 V, 60 Hz 전원에서 지상 역률 0.6로 10 kW를 소비한다. 100 µF 커패시터를 부하와 병렬로 연결한다. 전원에서 본 새 역률 cos φ을(를) 구하시오.

P = 10 kWpf1 = 0.6V = 230 Vf = 60 HzC = 100 µF
cos φ =
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
V2.2 kΩ10 mH22 nF

병렬 RLC 회로의 R = 2.2 kΩ, L = 10 mH, C = 22 nF입니다. 품질 계수 Q을(를) 구하시오.

R = 2.2 kΩL = 10 mHC = 22 nF
Q =
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
C = 220 nFR = 1 ΩL = 10 µH

충전된 220 nF 커패시터가 전체 직렬 저항 1 Ω의 10 µH 코일을 통해 방전되어 진동이 서서히 사라집니다. 진폭은 e−Rt/(2L)로 감쇠합니다. 진폭이 절반이 되기까지 진동이 몇 주기 n가 지나갑니까? (손실이 작으므로 주파수는 f₀입니다.)

L = 10 µHC = 220 nFR = 1 Ω
n =
9.3상 전력보통
ABCVL​ = 690 VIL​ = 75 Acos φ = 0.8지상

평형 3상 부하가 선간 전압 690 V의 전원에서 선전류 75 A를 끌어 쓴다. 역률은 0.8(지상)이다. 부하가 소비하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 690 VIL = 75 Acos φ = 0.8
P = kW
10.3상 전력어려움
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 400 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.72(지상)로 60 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 60 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC·RL 과도 현상보통
+−Vs​24 Vt = 0R1​ = 6.8 kΩR2​ = 2.2 kΩC220 µF+−vC​

전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 200 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.

Vs = 24 VR1 = 6.8 kΩR2 = 2.2 kΩC = 220 µFt = 200 ms
vC = V
12.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​30 Vt = 0에 열림R1​ = 10 kΩR2​ = 6.8 kΩC47 µF+−vC​

스위치가 오랫동안 닫혀 있었으므로 회로는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 열린다. t = 250 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.

Vs = 30 VR1 = 10 kΩR2 = 6.8 kΩC = 47 µFt = 250 ms
vC = V
13.테브난·노턴보통
R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩARL​10 ΩIL​B

a–b 사이에 부하 RL = 10 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 30 VR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 ΩRL = 10 Ω
IL = A
14.테브난·노턴어려움
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAIs​5 ABRL​3 ΩIL​

a–b 사이에 부하 RL = 3 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 PL을(를) 구하시오.

V1 = 12 VIs = 5 AR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩRL = 3 Ω
PL = W
15.보드 선도와 여유보통
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−40−20020406080ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ω = 8

ω = 8 rad/s에서 G(s) = 37(s + 17)/(s(s + 1))의 위상 ∠G(jω)을(를) 도 단위로 구하시오.

G(s) = 37(s + 17)/(s(s + 1))ω = 8 rad/s
∠G(jω) = °
16.보드 선도와 여유어려움
|H| (dB)0.10.1111010100100−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = 112/(s(s + 8))이다. |L(jω)| = 1인 이득 교차 주파수 ωc을(를) 구하시오.

L(s) = 112/(s(s + 8))
ωc = rad/s

3용액

1.복소수

답: θ = 102.5 °

극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.

사분면

a = −2, b = 9 → II

기준각

α = atan(9/2) = 77.47°

편각

θ = 180° − α = 102.5°

답

θ = 102.5°

극형식으로 z = 9.22∠102.5°.

2.복소수

답: Re(z⁹) = −512

드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.

극형식

z = 1 − j√3 = 2∠−60°

드무아브르

z⁹ = (2)⁹∠−540° = 512∠180°

직각 형식

z⁹ = 512·(cos 180° + j sin 180°) = −512
Re(z⁹) = −512

답

Re(z⁹) = −512
3.교류 임피던스와 페이저

답: φ = 86.91 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.1 = 628.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·2.2·10⁻⁶) = 72.34 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (556)²) = 556.8 Ω

위상각

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(556/30) = 86.91°

답

φ = 86.91°
4.교류 임피던스와 페이저

답: B = 318.3 Hz

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 주파수

f0 = 1/(2π·√(0.01·1·10⁻⁶)) = 1592 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.01/(1·10⁻⁶)) = 5

대역폭

B = f0/Q = 1592/5 = 318.3 Hz

답

B = 318.3 Hz
5.교류 전력과 역률

답: X = 36 Ω

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

유효 전력에서 구한 저항

R = P/I² = 192/2² = 48 Ω

임피던스에서 구한 리액턴스

|Z| = V/I = 120/2 = 60 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(60² − 48²) = 36 Ω

답

X = 36 Ω
6.교류 전력과 역률

답: cos φ = 0.6614

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q1 = 10·tan(arccos 0.6) = 13.33 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·100·10⁻⁶ = 1994 var = 1.994 kvar
Q2 = 13.33 − 1.994 = 11.34 kvar

새 피상 전력

S2 = √(10² + 11.34²) = 15.12 kVA

새 역률

cos φ = P/S2 = 10/15.12 = 0.6614

답

cos φ = 0.6614
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: Q = 3.263

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

공진 주파수

ω₀ = 1/√(LC) = 67420 rad/s

선택도

Q = R/(ω₀L) = 2200/(67420·0.01) = 3.263

답

Q = 3.263

대역폭은 1/(2πRC) = 3.288 kHz입니다.

8.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: n = 1.488

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

진폭의 반감기

t = 2·1 × 10⁻⁵·ln 2/1 = 1.386 × 10⁻⁵ s

주기 수

n = t·f0 = 1.386 × 10⁻⁵·107302 = 1.488

답

n = 1.488

지름길: Q = 6.742이면 n = Q·ln 2/π.

9.3상 전력

답: P = 71.71 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

피상 전력

S = √3·VL·IL = √3·690·75 = 89.63 kVA

유효 전력

P = S·cos φ = 89.63·0.8 = 71.71 kW

답

P = 71.71 kW
10.3상 전력

답: Cph = 631.8 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 60·tan(acos 0.72) = 60·0.9639 = 57.83 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.95) = 60·0.3287 = 19.72 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 38.11 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 12703/(377·230.9²) = 631.8 µF

답

Cph = 631.8 µF
11.RC·RL 과도 현상

답: vC = 2.471 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

커패시터에서 본 테브난 등가 회로

Rth를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.

Rth = R1 ∥ R2 = 6.8·2.2/(6.8 + 2.2) = 1.662 kΩ
vC(∞) = 24·2.2/(6.8 + 2.2) = 5.867 V

시정수

τ = Rth·C = 1.662·220 = 365.7 ms

충전 곡선

vC(t) = 5.867·(1 − e−200/365.7) = 2.471 V

답

vC = 2.471 V
12.RC·RL 과도 현상

답: vC = 5.554 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

초기 커패시터 전압

정상 상태에서 커패시터는 개방 회로이므로 R₁과 R₂가 전압 분배기를 이룹니다. 스위치가 열릴 때 커패시터 전압은 급변할 수 없습니다.

vC(0) = 30·6.8/(10 + 6.8) = 12.14 V

스위치가 열린 뒤의 시정수

τ = R2·C = 6.8·47 = 319.6 ms

방전

vC(t) = 12.14·e−250/319.6 = 5.554 V

답

vC = 5.554 V
13.테브난·노턴

답: IL = 0.6579 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω단락R2​5 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 6·5/(6+5) = 2.727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.727 + 8 = 10.73 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·5/(6+5) = 13.64 V
Rth​ = 10.73 Ω+−Vth​13.64 VRL​10 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 13.64/(10.73 + 10) = 0.6579 A
14.테브난·노턴

답: PL = 63.23 W

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω단락R2​8 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 8·8/(8+8) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 15 = 19 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6 + 5·4 = 26 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 26 + 5·15 = 101 V
Rth​ = 19 Ω+−Vth​101 VRL​3 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 101/(19 + 3) = 4.591 A
PL = IL²·RL = 4.591²·3 = 63.23 W
15.보드 선도와 여유

답: ∠G(jω) = −147.7 °

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

각도를 더하기

∠G = atan(8/17) − 90° − atan(8/1) = 25.2° − 90° − 82.87°

결과

∠G(j8) = −147.7°

답

∠G(jω) = −147.7°
16.보드 선도와 여유

답: ωc = 9.191 rad/s

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

이득 교차

ω⁴ + 64ω² − 12544 = 0
ω² = (−64 + √(4096 + 4·12544))/2 = 84.48
ωc = 9.191 rad/s

답

ωc = 9.191 rad/s

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