연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.
교류 임피던스와 페이저
임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z
방법
주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
교류 전력과 역률
유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC 공진, Q 인자, 대역폭
고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)
방법
먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.
3상 전력
Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η
RC·RL 과도 현상
시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ
방법
스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
테브난·노턴
테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
방법
부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.
2연습 문제
1.복소수보통
z = 8∠−20°을(를) 직각 형식 a + jb로 쓰고 실수부 a을(를) 구하시오.
r = 8θ = −20°
a =
2.복소수어려움
(2 − j)³의 허수부를 구하시오.
z = 2 − jn = 3
Im(z³) =
3.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF
I = A
4.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로가 12 V (실효값), 1000 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.
V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 47 µF
I = A
5.교류 전력과 역률보통
두 부하가 400 V 단상 전원에 병렬로 연결되어 있다: 지상 역률 0.7의 27 kW 부하와 지상 역률 0.8의 6 kW 부하. 전원에서 본 전체 역률 cos φ을(를) 구하시오.
V = 400 VP1 = 27 kW, pf1 = 0.7 지상P2 = 6 kW, pf2 = 0.8 지상
cos φ =
6.교류 전력과 역률어려움
230 V(실효값), 60 Hz 전원의 내부 임피던스는 Zs = 25 + j15 Ω이다. 부하 임피던스 ZL은(는) 자유롭게 선택할 수 있다. 최대 전력을 위한 부하는 저항과 커패시터의 직렬로 만든다. 커패시턴스 C을(를) 구하시오.
Vs = 230 V (rms)f = 60 HzZs = 25 + j15 Ω
C = µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
10 µF 커패시터를 15 V로 충전해 이상적인 1 µH 인덕터와 진동시킵니다. 커패시터 전압이 12 V인 순간에 인덕터에 저장된 에너지 WL을(를) µJ 단위로 구하시오.
C = 10 µFV0 = 15 VvC = 12 V
WL = µJ
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
전체 저항 20 Ω, 공진 주파수 200 kHz, 대역폭 5 kHz인 직렬 RLC 필터를 설계합니다. 커패시턴스 C을(를) nF 단위로 구하시오.
R = 20 Ωf0 = 200 kHzBW = 5 kHz
C = nF
9.3상 전력보통
평형 3상 부하가 선간 전압 480 V의 전원에서 선전류 20 A를 끌어 쓴다. 역률은 0.95(지상)이다. 부하가 소비하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
VL = 480 VIL = 20 Acos φ = 0.95
P = kW
10.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 690 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.7(지상)로 80 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 80 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC·RL 과도 현상보통
t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 20 ms에서 인덕터에 저장된 에너지 W을(를) mJ로 구하시오.
Vs = 20 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 20 ms
W = mJ
12.RC·RL 과도 현상어려움
t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 10 V이다. t = 25 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.
Vs = 9 VR = 1 kΩC = 68 µFvC(0) = 10 Vt = 25 ms
vC = V
13.테브난·노턴보통
단자 a–b에서 본 테브난 전압 Vth을(를) 구하시오.
V1 = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
14.테브난·노턴어려움
a–b 사이에 부하 RL = 10 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.
그림의 RC 저역 통과 필터은(는) R = 1 kΩ, C = 47 nF을(를) 가집니다. 6.8 kHz의 정현파 입력이 가해집니다. vin에 대한 vout의 위상 이동 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
R = 1 kΩC = 47 nFf = 6.8 kHz
φ = °
16.보드 선도와 여유어려움
단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = 258/(s(s + 3)(s + 9))이다. 이득 여유 GM을(를) dB 단위로 구하시오.
L(s) = 258/(s(s + 3)(s + 9))
GM = dB
3용액
1.복소수
답: a = 7.518
극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.
성분
a = 8·cos(−20°) = 7.518
b = 8·sin(−20°) = −2.736
직각 형식
z = 7.518 − j2.736
a = 7.518
답
a = 7.518
2.복소수
답: Im(z³) = −11
드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.
단계별 거듭제곱
z² = (2 − j)(2 − j) = 3 − j4
z³ = (3 − j4)(2 − j) = 2 − j11
드무아브르로 검산
z = 2.236∠−26.57° → z³ = 11.18∠−79.7°
Im(z³) = −11
답
Im(z³) = −11
3.교류 임피던스와 페이저
답: I = 0.1784 A
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
각 부하의 무효 전력
지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).
Q1 = 27·tan(arccos 0.7) = 27.55 kvar
Q2 = 6·tan(arccos 0.8) = 4.5 kvar
합계
P = 27 + 6 = 33 kW
Q = 27.55 + 4.5 = 32.05 kvar
S = √(33² + 32.05²) = 46 kVA
전체 역률
cos φ = P/S = 33/46 = 0.7174 지상
답
cos φ = 0.7174
6.교류 전력과 역률
답: C = 176.8 µF
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
켤레 정합
부하 리액턴스는 전원 리액턴스를 상쇄하고, 부하 저항은 전원 저항과 같습니다.
ZL = Zs* = 25 − j15 Ω
정전 용량
XC = 15 Ω → C = 1/(2π·60·15) = 176.8 µF
답
C = 176.8 µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭
답: WL = 405 µJ
LC 공진: 충전된 커패시터를 인덕터에 연결하면 전류가 흘러 커패시터를 반대 방향으로 충전합니다. 에너지는 고유 주파수 f0 = 1/(2π√(LC))로 C의 전기장(½Cv²)과 L의 자기장(½Li²) 사이를 오갑니다. 저항이 없으면 전체 에너지 ½CV0²은 일정하므로 최대 전류는 Imax = V0√(C/L)입니다. 한 주기는 T = 1/f0이며, 에너지는 그 사분의 일 동안 C에서 L로 이동합니다.
C = 1/((2π·200000)²·0.0006366) = 9.947 × 10⁻¹⁰ F = 0.9947 nF
답
C = 0.9947 nF
Q = f₀/BW = 40.
9.3상 전력
답: P = 15.8 kW
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
피상 전력
S = √3·VL·IL = √3·480·20 = 16.63 kVA
유효 전력
P = S·cos φ = 16.63·0.95 = 15.8 kW
답
P = 15.8 kW
10.3상 전력
답: Cph = 308.2 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.