연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.
교류 임피던스와 페이저
임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z
방법
주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
교류 전력과 역률
유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC 공진, Q 인자, 대역폭
고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)
방법
먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.
3상 전력
Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η
RC·RL 과도 현상
시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ
방법
스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
테브난·노턴
테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
방법
부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.
2연습 문제
1.복소수보통
복소수 z = 5·ej0.4의 각은 라디안이다. 허수부 b을(를) 구하라.
r = 5θ = 0.4 rad
b =
2.복소수어려움
점 A–D 중 정확히 하나가 z³ = 8∠90°의 근이다. 그것을 클릭하세요.
w = 8∠90°n = 3
1A (2∠−150°)
2B (2∠30°)
3C (2∠90°)
4D (1∠30°)
3.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).
V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF
φ = °
4.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로의 R = 50 Ω, L = 1 mH, C = 0.01 µF이다. 대역폭 B(반전력 주파수 사이 대역의 폭)을(를) Hz로 구하시오.
R = 50 ΩL = 1 mHC = 0.01 µF
B = Hz
5.교류 전력과 역률보통
두 부하가 400 V 단상 전원에 병렬로 연결되어 있다: 지상 역률 0.8의 20 kW 부하와 지상 역률 0.9의 21 kW 부하. 전원에서 흐르는 전체 전류 I을(를) 구하시오.
V = 400 VP1 = 20 kW, pf1 = 0.8 지상P2 = 21 kW, pf2 = 0.9 지상
I = A
6.교류 전력과 역률어려움
단상 부하가 230 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.7로 40 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.92(으)로 높인다. 커패시터가 공급해야 하는 무효 전력 QC을(를) 구하시오.
P = 40 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.92V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
직렬 RLC 회로가 10 kHz에서 공진하고 Q = 2.5입니다. 낮은 쪽 반전력 주파수 f1을(를) kHz 단위로 정확하게 구하시오.
f0 = 10 kHzQ = 2.5
f1 = kHz
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
직렬 RLC 회로(R = 5 Ω, L = 10 mH, C = 1 µF)를 공진에서 전류 진폭 20 mA로 구동합니다. 한 주기 동안 R에서 소비되는 에너지 Ecycle을(를) nJ 단위로 구하시오.
R = 5 ΩL = 10 mHC = 1 µFIm = 20 mA
Ecycle = nJ
9.3상 전력보통
상당 임피던스가 5 + j12 Ω인 평형 Y 결선 부하가 선간 전압 208 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
VL = 208 VZ = 5 + j12 Ω 상당
P = kW
10.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 480 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.72(지상)로 120 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 120 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC·RL 과도 현상보통
전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 30 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.
Vs = 12 VR1 = 4.7 kΩR2 = 10 kΩC = 10 µFt = 30 ms
vC = V
12.RC·RL 과도 현상어려움
t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 20 V이다. vC이(가) 14 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.
Vs = 5 VR = 10 kΩC = 22 µFvC(0) = 20 V
t = ms
13.테브난·노턴보통
a–b 사이에 부하 RL = 10 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.
V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 ΩRL = 10 Ω
IL = A
14.테브난·노턴어려움
단자 a–b에서 본 테브난 전압 Vth을(를) 구하시오.
V1 = 10 VIs = 2.5 AR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
15.보드 선도와 여유보통
ω = 2 rad/s에서 G(s) = 468/((s + 9)(s + 13))의 정확한 크기 |G(jω)|을(를) dB 단위로 구하시오.
G(s) = 468/((s + 9)(s + 13))ω = 2 rad/s
|G(jω)| = dB
16.보드 선도와 여유어려움
단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = 60/(s(s + 3)(s + 5))이다. 이득 여유 GM을(를) dB 단위로 구하시오.
L(s) = 60/(s(s + 3)(s + 5))
GM = dB
3용액
1.복소수
답: b = 1.947
극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.
오일러 공식
z = 5·(cos 0.4 + j sin 0.4)
성분(라디안)
a = 5·cos 0.4 = 4.605
b = 5·sin 0.4 = 1.947
b = 1.947
답
b = 1.947
2.복소수
답: B (2∠30°)
드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.
근의 절댓값과 편각
|z| = 2
θ = 30°, 150°, −90°
그 점
B = 2∠30°
답
B (2∠30°)
3.교류 임피던스와 페이저
답: φ = −86.89 °
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
각 부하의 무효 전력
지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).
Q1 = 20·tan(arccos 0.8) = 15 kvar
Q2 = 21·tan(arccos 0.9) = 10.17 kvar
합계
P = 20 + 21 = 41 kW
Q = 15 + 10.17 = 25.17 kvar
S = √(41² + 25.17²) = 48.11 kVA
전체 전류
I = S/V = 48110/400 = 120.3 A
답
I = 120.3 A
6.교류 전력과 역률
답: QC = 23.77 kvar
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
상전압
Vph = 208/√3 = 120.1 V
상전류
|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
Iph = 120.1/13 = 9.238 A
전체 유효 전력
각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.
P = 3·Iph²·R = 3·9.238²·5 = 1.28 kW
답
P = 1.28 kW
확인: cos φ = R/|Z| = 0.3846이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.
10.3상 전력
답: Cph = 351 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0.72) = 120·0.9639 = 115.7 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.95) = 120·0.3287 = 39.44 kvar
커패시터가 공급하는 무효 전력
QC = Q1 − Q2 = 76.22 kvar
상당 정전 용량
Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.
V = 480 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 25407/(314.2·480²) = 351 µF
답
Cph = 351 µF
11.RC·RL 과도 현상
답: vC = 4.969 V
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
커패시터에서 본 테브난 등가 회로
Rth를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.
Rth = R1 ∥ R2 = 4.7·10/(4.7 + 10) = 3.197 kΩ
vC(∞) = 12·10/(4.7 + 10) = 8.163 V
시정수
τ = Rth·C = 3.197·10 = 31.97 ms
충전 곡선
vC(t) = 8.163·(1 − e−30/31.97) = 4.969 V
답
vC = 4.969 V
12.RC·RL 과도 현상
답: t = 112.4 ms
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.