회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

복소수

직각 형식: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
절댓값과 편각: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
극형식과 지수 형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
나눗셈: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
곱과 몫: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
드무아브르: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n제곱근: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q인 이차방정식: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

방법

연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력: P = V·I·cos φ
무효 전력: Q = V·I·sin φ
피상 전력: S = V·I = √(P² + Q²)
역률: pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 공진, Q 인자, 대역폭

고유 진동수: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
에너지: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류: I_max = V₀√(C/L)
선택도: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
반전력 주파수: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로: R_D = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠: e^−Rt/(2L)

방법

먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.

3상 전력

Y 결선: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 결선: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
전체 유효 전력: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
피상 전력과 무효 전력: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압: Δ: V_L Y: V_L/√3
전동기 입력: P_in = P_out/η

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

테브난·노턴

테브난 전압: V_th = V_{open circuit}
테브난 저항: R_th: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류: I_N = V_th/R_th
부하 전류: I_L = V_th/(R_th + R_L)
최대 전력 전달: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

방법

부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 V_th입니다.
모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 R_th입니다.
부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: V_th와 R_th의 직렬.
노턴 등가 회로로 변환합니다: I_N = V_th/R_th, R_N = R_th를 병렬로.

2연습 문제

1.복소수보통

z = −6 + j의 편각 θ을(를) −180°와 180° 사이의 주값으로 도 단위로 구하시오.

z = −6 + j

θ = °

2.복소수어려움

n = 3, w = 27∠0°일 때 zⁿ = w의 근은 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2이다. z₁의 실수부를 구하시오.

w = 27∠0°n = 3k = 1

Re(z₁) =

3.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 47 µF

φ = °

4.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 V_C을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

V_C = V

5.교류 전력과 역률보통

두 부하가 230 V 단상 전원에 병렬로 연결되어 있다: 지상 역률 0.6의 13 kW 부하와 9 kW 히터(역률 1). 전원에서 본 전체 역률 cos φ을(를) 구하시오.

V = 230 VP₁ = 13 kW, pf₁ = 0.6 지상P₂ = 9 kW, pf₂ = 1

cos φ =

6.교류 전력과 역률어려움

단상 부하가 230 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.75로 40 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.92(으)로 높인다. 필요한 정전 용량 C을(를) 구하시오.

P = 40 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.92V = 230 Vf = 50 Hz

C = µF

7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통

직렬 RLC 회로의 R = 10 Ω, L = 1 mH, C = 10 nF입니다. 대역폭 BW을(를) kHz 단위로 구하시오.

R = 10 ΩL = 1 mHC = 10 nF

BW = kHz

8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움

전체 저항 100 Ω, 공진 주파수 100 kHz, 대역폭 2 kHz인 직렬 RLC 필터를 설계합니다. 커패시턴스 C을(를) nF 단위로 구하시오.

R = 100 Ωf₀ = 100 kHzBW = 2 kHz

C = nF

9.3상 전력보통

상당 임피던스가 12 + j9 Ω인 평형 Δ 결선 부하가 선간 전압 415 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

V_L = 415 VZ = 12 + j9 Ω 상당

P = kW

10.3상 전력어려움

평형 3상 부하가 400 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.72(지상)로 80 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 C_ph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 80 kWpf₁ = 0.72pf₂ = 0.98V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 80%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

V_s = 6 VR = 47 ΩL = 100 mH

t = ms

12.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 15 V이다. v_C이(가) 21.3 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 24 VR = 4.7 kΩC = 100 µFv_C(0) = 15 V

t = ms

13.테브난·노턴보통

a–b 사이에 부하 R_L = 12 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 I_L을(를) 구하시오.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

14.테브난·노턴어려움

a–b 사이에 부하 R_L = 30 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 P_L을(를) 구하시오.

V₁ = 5 VI_s = 6 AR₁ = 10 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 30 Ω

P_L = W

15.보드 선도와 여유보통

그림의 RC 고역 통과 필터은(는) R = 3.3 kΩ, C = 2.2 nF을(를) 가집니다. 5.5 kHz의 정현파 입력이 가해집니다. 이득 |H| = |v_out/v_in|을 dB로 구하시오.

R = 3.3 kΩC = 2.2 nFf = 5.5 kHz

|H| = dB

16.보드 선도와 여유어려움

단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = 13.6/(s(s + 8))이다. 위상 여유 PM을(를) 도 단위로 구하시오.

L(s) = 13.6/(s(s + 8))

PM = °

3용액

1.복소수

답: θ = 170.5 °

극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.

사분면

a = −6, b = 1 → II

기준각

α = atan(1/6) = 9.462°

편각

θ = 180° − α = 170.5°

답

θ = 170.5°

극형식으로 z = 6.083∠170.5°.

2.복소수

답: Re(z₁) = −1.5

드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R^1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.

근의 절댓값

27^1/3 = 3

근의 편각

θ₁ = (0° + 360°·1)/3 = 120°

직각 형식

z₁ = 3·(cos 120° + j sin 120°) = −1.5 + j2.598

Re(z₁) = −1.5

답

Re(z₁) = −1.5

3개의 근이 반지름 3인 원 위에 120° 간격으로 놓입니다.

3.교류 임피던스와 페이저

답: φ = 29.27 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6.773 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (56.06)²) = 114.6 Ω

위상각

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(56.06/100) = 29.27°

답

φ = 29.27°

4.교류 임피던스와 페이저

답: V_C = 27.82 V

리액턴스

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−106.5)²) = 146.1 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 24/146.1 = 0.1643 A

커패시터 전압

V_C = I·X_C = 0.1643·169.3 = 27.82 V

답

V_C = 27.82 V

5.교류 전력과 역률

답: cos φ = 0.7855

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

각 부하의 무효 전력

지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).

Q₁ = 13·tan(arccos 0.6) = 17.33 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

합계

P = 13 + 9 = 22 kW

Q = 17.33 + 0 = 17.33 kvar

S = √(22² + 17.33²) = 28.01 kVA

전체 역률

cos φ = P/S = 22/28.01 = 0.7855 지상

답

cos φ = 0.7855

6.교류 전력과 역률

답: C = 1097 µF

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(41.41°) = 35.28 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(23.07°) = 17.04 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 18.24 kvar

정전 용량

전원에 병렬로 연결한 커패시터는 Q = V²·ωC를 공급합니다.

C = Q_C/(2πf·V²) = 18237/(2π·50·230²) = 1097 µF

답

C = 1097 µF

7.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: BW = 1.592 kHz

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f₁과 f₂(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f₂ − f₁ = f₀/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f₀ = √(f₁f₂)이고, f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e^−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

rad/s 단위의 대역폭

R/L = 10/0.001 = 10000 rad/s

Hz 단위의 대역폭

BW = 10000/(2π) = 1592 Hz = 1.592 kHz

답

BW = 1.592 kHz

f₀ = 50.33 kHz이면 Q = 31.62입니다.

8.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: C = 0.3183 nF

대역폭으로부터 구한 인덕턴스

L = R/(2π·BW) = 100/(2π·2000) = 0.007958 H

공진 주파수로부터 구한 커패시턴스

C = 1/((2π·100000)²·0.007958) = 3.183 × 10⁻¹⁰ F = 0.3183 nF

답

C = 0.3183 nF

Q = f₀/BW = 50.

9.3상 전력

답: P = 27.56 kW

상전압

V_ph = V_L = 415 V

상전류

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω

I_ph = 415/15 = 27.67 A

전체 유효 전력

각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.

P = 3·I_ph²·R = 3·27.67²·12 = 27.56 kW

답

P = 27.56 kW

확인: cos φ = R/|Z| = 0.8이고, √3·V_L·I_L·cos φ도 같은 전력을 줍니다.

10.3상 전력

답: C_ph = 1211 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, V_L = √3·V_ph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, I_L = √3·I_ph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). 세 커패시터는 각각 Q_C/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 V_L, Y 뱅크에서는 V_L/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q₁ = 80·tan(acos 0.72) = 80·0.9639 = 77.11 kvar

Q₂ = 80·tan(acos 0.98) = 80·0.2031 = 16.24 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

Q_C = Q₁ − Q₂ = 60.86 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 20288/(314.2·230.9²) = 1211 µF

답

C_ph = 1211 µF

11.RC·RL 과도 현상

답: t = 3.424 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2.128 ms

i(∞) = V_s/R = 6/47 = 0.1277 A

시간에 대해 풀기

0.8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)

t = −2.128·ln(0.2) = 3.424 ms

답

t = 3.424 ms

12.RC·RL 과도 현상

답: t = 565.9 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 100 µF = 470 ms

v_C(t) = 24 + (15 − 24)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

21.3 = 24 + (−9)·e^−t/τ → e^−t/τ = (21.3 − 24)/(15 − 24) = 0.3

t = τ·ln((15 − 24)/(21.3 − 24)) = 470·ln(3.333) = 565.9 ms

답

t = 565.9 ms

13.테브난·노턴

답: I_L = 0.4712 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 V_th와 저항 R_th의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 I_N = V_th/R_th와 R_th의 병렬 회로로 나타냅니다.

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R₁ ∥ R₂ = 5·6/(5+6) = 2.727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.727 + 20 = 22.73 Ω

개방 전압 V_th 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·6/(5+6) = 16.36 V

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 16.36/(22.73 + 12) = 0.4712 A

14.테브난·노턴

답: P_L = 70.98 W

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R₁ ∥ R₂ = 10·25/(10+25) = 7.143 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7.143 + 4 = 11.14 Ω

개방 전압 V_th 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3.571 + (−6)·7.143 = −39.29 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −39.29 + (−6)·4 = −63.29 V

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −63.29/(11.14 + 30) = −1.538 A

P_L = I_L²·R_L = −1.538²·30 = 70.98 W

15.보드 선도와 여유

답: |H| = −12.28 dB

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ω_c = 1/(RC) 또는 R/L이며 f_c = ω_c/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)와 φ = −atan(ω/ω_c)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ω_c: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jω_c). 위상 교차 주파수 ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

차단 주파수

ω_c = 1/(RC) = 1/(3300·2.2 × 10⁻⁹) = 137741 rad/s

f_c = 21922 Hz → f/f_c = 5500/21922 = 0.2509

이득

|H| = 0.2509/√(1 + 0.2509²) = 0.2433

20·log₁₀(0.2433) = −12.28 dB

답

|H| = −12.28 dB

16.보드 선도와 여유

답: PM = 78.25 °

이득 교차

ω⁴ + 64ω² − 185 = 0

ω² = (−64 + √(4096 + 4·185))/2 = 2.77

ω_c = 1.664 rad/s

위상 여유

∠L(jω_c) = −90° − atan(1.664/8) = −101.8°

PM = 180° + ∠L = 78.25°

답

PM = 78.25°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

1공식과 풀이 방법

복소수

방법

교류 임피던스와 페이저

방법

교류 전력과 역률

LC 공진, Q 인자, 대역폭

방법

3상 전력

RC·RL 과도 현상

방법

테브난·노턴

방법

2연습 문제

3용액

사분면

기준각

편각

답

근의 절댓값

근의 편각

직각 형식

답

리액턴스

임피던스

위상각

답

리액턴스

임피던스

전류

커패시터 전압

답

각 부하의 무효 전력

합계

전체 역률

답

보상 전후의 무효 전력

정전 용량

답

rad/s 단위의 대역폭

Hz 단위의 대역폭

답

대역폭으로부터 구한 인덕턴스

공진 주파수로부터 구한 커패시턴스

답

상전압

상전류

전체 유효 전력

답

보상 전후의 무효 전력

커패시터가 공급하는 무효 전력

상당 정전 용량

답

시정수와 최종 전류

시간에 대해 풀기

답

초기값, 최종값, 시정수

시간에 대해 풀기

답

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

개방 전압 Vth 구하기

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

개방 전압 Vth 구하기

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

차단 주파수

이득

답

이득 교차

위상 여유

답

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

개방 전압 V_th 구하기

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

개방 전압 V_th 구하기