회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

복소수

직각 형식
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
절댓값과 편각
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
극형식과 지수 형식
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
나눗셈
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
곱과 몫
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
드무아브르
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n제곱근
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q인 이차방정식
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

방법

  1. 연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
  2. 곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
  3. r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
  4. 거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 공진, Q 인자, 대역폭

고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)

방법

  1. 먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
  2. 회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
  3. 대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
  4. 에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.복소수보통
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂w

z₁ = 2.5∠100°, z₂ = 2∠110°이 주어졌을 때 w = z₁·z₂의 편각 θ을(를) −180°와 180° 사이의 도 단위로 구하시오.

z₁ = 2.5∠100°z₂ = 2∠110°
θ = °
2.복소수어려움
ReIm22−2−244−4−4z₀z₁

n = 2, w = 25∠−120°일 때 zⁿ = w의 근은 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1이다. z₁의 편각을 −180°와 180° 사이의 도 단위로 구하시오.

w = 25∠−120°n = 2k = 1
θ₁ = °
3.교류 임피던스와 페이저보통
230 V200 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 10 µF

직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 10 µF
φ = °
4.교류 임피던스와 페이저어려움
50 V500 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 22 µF+−VC​

직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 VC을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 22 µF
VC = V
5.교류 전력과 역률보통
P = 1 kWQ = ?Sφ

단상 전동기가 400 V 전원에서 지상 역률 0.6로 1 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.

P = 1 kWpf = 0.6V = 400 V
Q = kvar
6.교류 전력과 역률어려움
P = 30 kWQ1​S1​φ1​QC​

단상 부하가 240 V, 60 Hz 전원에서 지상 역률 0.75로 30 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.95(으)로 높인다. 필요한 정전 용량 C을(를) 구하시오.

P = 30 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95V = 240 Vf = 60 Hz
C = µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
C = 470 nF+−3 VL = 100 µHiL​

470 nF 커패시터를 6 V로 충전해 이상적인 100 µH 인덕터와 진동시킵니다. 커패시터 전압이 3 V인 순간에 인덕터에 저장된 에너지 WL을(를) µJ 단위로 구하시오.

C = 470 nFV0 = 6 VvC = 3 V
WL = µJ
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
VR = ?10 µHC

직렬 공진 회로가 10 µH 인덕터를 사용합니다. 대역폭이 10 kHz가 되려면 전체 직렬 저항 R은 얼마여야 합니까?

L = 10 µHBW = 10 kHz
R = Ω
9.3상 전력보통
ABCVL​ = 400 VIL​ = 25 Acos φ = 0.92지상

평형 3상 부하가 선간 전압 400 V의 전원에서 선전류 25 A를 끌어 쓴다. 역률은 0.92(지상)이다. 부하가 소비하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 400 VIL = 25 Acos φ = 0.92
P = kW
10.3상 전력어려움
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 480 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.65(지상)로 80 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 80 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.98VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC·RL 과도 현상보통
+−Vs​10 Vt = 0R = 20 ΩL68 mHi(t)

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 5 ms에서 인덕터 전압 vL을(를) 구하시오.

Vs = 10 VR = 20 ΩL = 68 mHt = 5 ms
vL = V
12.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​9 Vt = 0R = 47 kΩC?+−vC​

타이머가 t = 0에 9 V 전원에서 저항을 통해 충전되지 않은 커패시터를 충전하기 시작한다. 타이머는 시작 후 정확히 500 ms에 커패시터 전압이 5.4 V에 도달할 때 작동해야 한다. R = 47 kΩ일 때 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

Vs = 9 VVth = 5.4 VT = 500 msR = 47 kΩ
C = µF
13.테브난·노턴보통
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAab

단자 a–b에서 본 테브난 저항 Rth을(를) 구하시오.

V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 12 Ω
Rth = Ω
14.테브난·노턴어려움
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​25 ΩAIs​5 ABab

노턴 전류 IN을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.

V1 = 12 VIs = 5 AR1 = 10 ΩR2 = 25 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
15.보드 선도와 여유보통
|H| (dB)1101001000−80−60−40−20020ω (rad/s)ω = 30

ω = 30 rad/s에서 G(s) = 912/((s + 16)(s + 19))의 정확한 크기 |G(jω)|을(를) dB 단위로 구하시오.

G(s) = 912/((s + 16)(s + 19))ω = 30 rad/s
|G(jω)| = dB
16.보드 선도와 여유어려움
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = K/(s(s + 3)(s + 9))이다. 이득 여유 8 dB를 주는 이득 K을(를) 구하시오.

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 9))GM = 8 dB
K =

3용액

1.복소수

답: θ = −150 °

극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.

w의 절댓값과 편각

|w| = 2.5 · 2 = 5
θ = 100° + 110° = 210° → −150°

편각

θ = −150°

답

θ = −150°
2.복소수

답: θ₁ = 120 °

드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.

근의 절댓값

251/2 = 5

근의 편각

θ₁ = (−120° + 360°·1)/2 = 120°

편각

θ₁ = 120°

답

θ₁ = 120°

2개의 근이 반지름 5인 원 위에 180° 간격으로 놓입니다.

3.교류 임피던스와 페이저

답: φ = 53.7 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.15 = 188.5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (108.9)²) = 135.1 Ω

위상각

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(108.9/80) = 53.7°

답

φ = 53.7°
4.교류 임피던스와 페이저

답: VC = 0.9306 V

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.25 = 785.4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (770.9)²) = 777.4 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 50/777.4 = 0.06432 A

커패시터 전압

VC = I·XC = 0.06432·14.47 = 0.9306 V

답

VC = 0.9306 V
5.교류 전력과 역률

답: Q = 1.333 kvar

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

위상각

φ = arccos(0.6) = 53.13°, tan φ = 1.333

무효 전력

Q = P·tan φ = 1·1.333 = 1.333 kvar

답

Q = 1.333 kvar
6.교류 전력과 역률

답: C = 764.3 µF

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q1 = P·tan φ1 = 30·tan(41.41°) = 26.46 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 30·tan(18.19°) = 9.861 kvar
QC = Q1 − Q2 = 16.6 kvar

정전 용량

전원에 병렬로 연결한 커패시터는 Q = V²·ωC를 공급합니다.

C = QC/(2πf·V²) = 16597/(2π·60·240²) = 764.3 µF

답

C = 764.3 µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: WL = 6.345 µJ

LC 공진: 충전된 커패시터를 인덕터에 연결하면 전류가 흘러 커패시터를 반대 방향으로 충전합니다. 에너지는 고유 주파수 f0 = 1/(2π√(LC))로 C의 전기장(½Cv²)과 L의 자기장(½Li²) 사이를 오갑니다. 저항이 없으면 전체 에너지 ½CV0²은 일정하므로 최대 전류는 Imax = V0√(C/L)입니다. 한 주기는 T = 1/f0이며, 에너지는 그 사분의 일 동안 C에서 L로 이동합니다.

전체 에너지

½·4.7 × 10⁻⁷·6² = 8.46 × 10⁻⁶ J

커패시터에 남은 에너지

½·4.7 × 10⁻⁷·3² = 2.115 × 10⁻⁶ J

인덕터의 에너지

WL = 6.345 × 10⁻⁶ J = 6.345 µJ

답

WL = 6.345 µJ
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: R = 0.6283 Ω

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

직렬 대역폭

BW = R/(2πL)

저항

R = 2π·1 × 10⁻⁵·10000 = 0.6283 Ω

답

R = 0.6283 Ω
9.3상 전력

답: P = 15.93 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

피상 전력

S = √3·VL·IL = √3·400·25 = 17.32 kVA

유효 전력

P = S·cos φ = 17.32·0.92 = 15.93 kW

답

P = 15.93 kW
10.3상 전력

답: Cph = 889.8 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 80·tan(acos 0.65) = 80·1.169 = 93.53 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.98) = 80·0.2031 = 16.24 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 77.29 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 25762/(377·277.1²) = 889.8 µF

답

Cph = 889.8 µF
11.RC·RL 과도 현상

답: vL = 2.298 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3.4 ms
i(∞) = Vs/R = 10/20 = 0.5 A

인덕터 전압

t = 0에서는 전원 전압 전체가 인덕터에 걸리고, 이후 0으로 감소합니다.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 10·e−5/3.4 = 2.298 V

답

vL = 2.298 V
12.RC·RL 과도 현상

답: C = 11.61 µF

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

필요한 시정수

5.4 = 9·(1 − e−500/τ) → τ = 500/ln(9/(9 − 5.4))
τ = 500/0.9163 = 545.7 ms

정전 용량

kΩ × µF는 밀리초입니다.

C = τ/R = 545.7/47 = 11.61 µF

답

C = 11.61 µF
13.테브난·노턴

답: Rth = 16 Ω

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω단락R2​12 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 6·12/(6+12) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 12 = 16 Ω
14.테브난·노턴

답: IN = 5.5 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω단락R2​25 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 10·25/(10+25) = 7.143 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.143 + 10 = 17.14 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​25 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8.571 + 5·7.143 = 44.29 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 44.29 + 5·10 = 94.29 V
IN​5.5 ARth​17.14 Ωab

노턴 등가 회로

노턴 전원은 같은 회로를 R_th와 병렬인 전류원으로 본 것입니다. 그 전류는 a–b의 단락 전류입니다.

IN = Vth/Rth = 94.29/17.14 = 5.5 A
15.보드 선도와 여유

답: |G(jω)| = −2.437 dB

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

크기를 곱하기

|G(j30)| = 912/(√(30² + 16²)·√(30² + 19²)) = 912/(34·35.51) = 0.7554

결과

20·log₁₀(0.7554) = −2.437 dB

답

|G(jω)| = −2.437 dB
16.보드 선도와 여유

답: K = 129

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

위상 교차

(ω/3)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(3·9) = 5.196 rad/s

위상 교차 주파수에서의 크기

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 81)) = K/(3·9·(3 + 9)) = K/324

필요한 이득

324/K = 108/20 = 2.512
K = 324/2.512 = 129

답

K = 129

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