회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

복소수

직각 형식: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
절댓값과 편각: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
극형식과 지수 형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
나눗셈: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
곱과 몫: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
드무아브르: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n제곱근: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q인 이차방정식: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

방법

연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력: P = V·I·cos φ
무효 전력: Q = V·I·sin φ
피상 전력: S = V·I = √(P² + Q²)
역률: pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 공진, Q 인자, 대역폭

고유 진동수: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
에너지: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류: I_max = V₀√(C/L)
선택도: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
반전력 주파수: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로: R_D = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠: e^−Rt/(2L)

방법

먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.

3상 전력

Y 결선: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 결선: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
전체 유효 전력: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
피상 전력과 무효 전력: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압: Δ: V_L Y: V_L/√3
전동기 입력: P_in = P_out/η

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

테브난·노턴

테브난 전압: V_th = V_{open circuit}
테브난 저항: R_th: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류: I_N = V_th/R_th
부하 전류: I_L = V_th/(R_th + R_L)
최대 전력 전달: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

방법

부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 V_th입니다.
모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 R_th입니다.
부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: V_th와 R_th의 직렬.
노턴 등가 회로로 변환합니다: I_N = V_th/R_th, R_N = R_th를 병렬로.

2연습 문제

1.복소수보통

그림은 z = 2 + j4을(를) 보여 줍니다. w = 0.5∠90°일 때 z/w을(를) 나타내는 점을 클릭하세요.

z = 2 + j4w = 0.5∠90°

1A (4 + j8)
2B (4 − j2)
3C (8 − j4)
4D (−8 + j4)

2.복소수어려움

방정식 z² − 2z + 7.25 = 0은(는) 복소수 근 두 개를 가진다. 그 절댓값 |z|을(를) 구하시오.

p = −2q = 7.25

|z| =

3.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 10 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 1 µF

φ = °

4.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 V_C을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

V_C = V

5.교류 전력과 역률보통

두 부하가 230 V 단상 전원에 병렬로 연결되어 있다: 지상 역률 0.6의 14 kW 부하와 지상 역률 0.95의 8 kW 부하. 전원에서 흐르는 전체 전류 I을(를) 구하시오.

V = 230 VP₁ = 14 kW, pf₁ = 0.6 지상P₂ = 8 kW, pf₂ = 0.95 지상

I = A

6.교류 전력과 역률어려움

단상 부하가 400 V, 60 Hz 전원에서 지상 역률 0.7로 10 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.9(으)로 높인다. 커패시터가 공급해야 하는 무효 전력 Q_C을(를) 구하시오.

P = 10 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.9V = 400 Vf = 60 Hz

Q_C = kvar

7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통

직렬 RLC 회로의 R = 22 Ω, L = 4.7 mH, C = 220 nF입니다. 대역폭 BW을(를) Hz 단위로 구하시오.

R = 22 ΩL = 4.7 mHC = 220 nF

BW = Hz

8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움

직렬 RLC 회로(R = 22 Ω, L = 1 mH, C = 100 nF)를 공진에서 전류 진폭 20 mA로 구동합니다. 한 주기 동안 R에서 소비되는 에너지 E_cycle을(를) nJ 단위로 구하시오.

R = 22 ΩL = 1 mHC = 100 nFI_m = 20 mA

E_cycle = nJ

9.3상 전력보통

상당 임피던스가 9 + j12 Ω인 평형 Y 결선 부하가 선간 전압 480 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

V_L = 480 VZ = 9 + j12 Ω 상당

P = kW

10.3상 전력어려움

평형 3상 부하가 400 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.65(지상)로 75 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 C_ph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 75 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.9V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 50%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

V_s = 15 VR = 15 ΩL = 220 mH

t = ms

12.RC·RL 과도 현상어려움

스위치가 오랫동안 닫혀 있었으므로 회로는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 열린다. t = 400 ms에서 R₂을(를) 흐르는 전류 i₂을(를) 구하시오.

V_s = 15 VR₁ = 1 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 100 µFt = 400 ms

i₂ = mA

13.테브난·노턴보통

단자 a–b에서 본 테브난 전압 V_th을(를) 구하시오.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

14.테브난·노턴어려움

a–b 사이에 부하 R_L = 15 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 P_L을(를) 구하시오.

V₁ = 9 VI_s = 2.5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 5 ΩR_L = 15 Ω

P_L = W

15.보드 선도와 여유보통

그림의 RC 고역 통과 필터은(는) R = 4.7 kΩ, C = 1 nF을(를) 가집니다. 340 kHz의 정현파 입력이 가해집니다. v_in에 대한 v_out의 위상 이동 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

R = 4.7 kΩC = 1 nFf = 340 kHz

φ = °

16.보드 선도와 여유어려움

단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = K/(s(s + 3)(s + 10))이다. 이득 여유 20 dB를 주는 이득 K을(를) 구하시오.

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 10))GM = 20 dB

K =

3용액

1.복소수

답: C (8 − j4)

극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.

w의 효과

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − 90°

그 점

z/w = 8 − j4 → C

답

C (8 − j4)

2.복소수

답: |z| = 2.693

드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R^1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.

판별식

p² − 4q = 4 − 29 = −25 < 0

근의 공식

z = (2 ± j√25)/2 = 1 + j2.5, 1 − j2.5

답

|z| = √(1² + 2.5²) = √7.25 = 2.693

답

|z| = 2.693

3.교류 임피던스와 페이저

답: φ = −78.93 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318.3 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−255.5)²) = 260.3 Ω

위상각

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−255.5/50) = −78.93°

답

φ = −78.93°

4.교류 임피던스와 페이저

답: V_C = 233.8 V

리액턴스

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·4.7·10⁻⁶) = 677.3 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−661.5)²) = 666.4 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 230/666.4 = 0.3452 A

커패시터 전압

V_C = I·X_C = 0.3452·677.3 = 233.8 V

답

V_C = 233.8 V

5.교류 전력과 역률

답: I = 133.1 A

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

각 부하의 무효 전력

지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).

Q₁ = 14·tan(arccos 0.6) = 18.67 kvar

Q₂ = 8·tan(arccos 0.95) = 2.629 kvar

합계

P = 14 + 8 = 22 kW

Q = 18.67 + 2.629 = 21.3 kvar

S = √(22² + 21.3²) = 30.62 kVA

전체 전류

I = S/V = 30619/230 = 133.1 A

답

I = 133.1 A

6.교류 전력과 역률

답: Q_C = 5.359 kvar

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(45.57°) = 10.2 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(25.84°) = 4.843 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 5.359 kvar

답

Q_C = 5.359 kvar

7.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: BW = 745 Hz

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f₁과 f₂(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f₂ − f₁ = f₀/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f₀ = √(f₁f₂)이고, f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e^−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

rad/s 단위의 대역폭

R/L = 22/0.0047 = 4681 rad/s

Hz 단위의 대역폭

BW = 4681/(2π) = 745 Hz = 745 Hz

답

BW = 745 Hz

f₀ = 4.949 kHz이면 Q = 6.644입니다.

8.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: E_cycle = 276.5 nJ

저장된 에너지

W = ½·0.001·0.02² = 2 × 10⁻⁷ J

선택도

Q = (1/22)·√(0.001/1 × 10⁻⁷) = 4.545

한 주기당 손실된 에너지

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·2 × 10⁻⁷/4.545 = 2.765 × 10⁻⁷ J = 276.5 nJ

검산: ½·0.02²·22/15915 = 2.765 × 10⁻⁷ J

답

E_cycle = 276.5 nJ

9.3상 전력

답: P = 9.216 kW

상전압

V_ph = 480/√3 = 277.1 V

상전류

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω

I_ph = 277.1/15 = 18.48 A

전체 유효 전력

각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.

P = 3·I_ph²·R = 3·18.48²·9 = 9.216 kW

답

P = 9.216 kW

확인: cos φ = R/|Z| = 0.6이고, √3·V_L·I_L·cos φ도 같은 전력을 줍니다.

10.3상 전력

답: C_ph = 283.8 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, V_L = √3·V_ph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, I_L = √3·I_ph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). 세 커패시터는 각각 Q_C/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 V_L, Y 뱅크에서는 V_L/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0.65) = 75·1.169 = 87.68 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0.9) = 75·0.4843 = 36.32 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

Q_C = Q₁ − Q₂ = 51.36 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 17120/(377·400²) = 283.8 µF

답

C_ph = 283.8 µF

11.RC·RL 과도 현상

답: t = 10.17 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14.67 ms

i(∞) = V_s/R = 15/15 = 1 A

시간에 대해 풀기

0.5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)

t = −14.67·ln(0.5) = 10.17 ms

답

t = 10.17 ms

12.RC·RL 과도 현상

답: i₂ = 0.7609 mA

초기 커패시터 전압

정상 상태에서 커패시터는 개방 회로이므로 R₁과 R₂가 전압 분배기를 이룹니다. 스위치가 열릴 때 커패시터 전압은 급변할 수 없습니다.

v_C(0) = 15·2.2/(1 + 2.2) = 10.31 V

스위치가 열린 뒤의 시정수

τ = R₂·C = 2.2·100 = 220 ms

방전

v_C(t) = 10.31·e^−400/220 = 1.674 V

i₂ = v_C/R₂ = 1.674/2.2 = 0.7609 mA

답

i₂ = 0.7609 mA

13.테브난·노턴

답: V_th = 3.75 V

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 V_th와 저항 R_th의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 I_N = V_th/R_th와 R_th의 병렬 회로로 나타냅니다.

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R₁ ∥ R₂ = 6·10/(6+10) = 3.75 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3.75 + 6 = 9.75 Ω

개방 전압 V_th 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·10/(6+10) = 3.75 V

14.테브난·노턴

답: P_L = 9.401 W

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R₁ ∥ R₂ = 8·20/(8+20) = 5.714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.714 + 5 = 10.71 Ω

개방 전압 V_th 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 6.429 + (−2.5)·5.714 = −7.857 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −7.857 + (−2.5)·5 = −20.36 V

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −20.36/(10.71 + 15) = −0.7917 A

P_L = I_L²·R_L = −0.7917²·15 = 9.401 W

15.보드 선도와 여유

답: φ = 5.688 °

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ω_c = 1/(RC) 또는 R/L이며 f_c = ω_c/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)와 φ = −atan(ω/ω_c)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ω_c: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jω_c). 위상 교차 주파수 ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

차단 주파수

ω_c = 1/(RC) = 1/(4700·1 × 10⁻⁹) = 212766 rad/s

f_c = 33863 Hz → f/f_c = 340000/33863 = 10.04

위상

φ = 90° − atan(10.04) = 5.688°

답

φ = 5.688°

16.보드 선도와 여유

답: K = 39

위상 교차

(ω/3)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·10) = 5.477 rad/s

위상 교차 주파수에서의 크기

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 100)) = K/(3·10·(3 + 10)) = K/390

필요한 이득

390/K = 10^20/20 = 10

K = 390/10 = 39

답

K = 39

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

1공식과 풀이 방법

복소수

방법

교류 임피던스와 페이저

방법

교류 전력과 역률

LC 공진, Q 인자, 대역폭

방법

3상 전력

RC·RL 과도 현상

방법

테브난·노턴

방법

2연습 문제

3용액

w의 효과

그 점

답

판별식

근의 공식

답

답

리액턴스

임피던스

위상각

답

리액턴스

임피던스

전류

커패시터 전압

답

각 부하의 무효 전력

합계

전체 전류

답

보상 전후의 무효 전력

답

rad/s 단위의 대역폭

Hz 단위의 대역폭

답

저장된 에너지

선택도

한 주기당 손실된 에너지

답

상전압

상전류

전체 유효 전력

답

보상 전후의 무효 전력

커패시터가 공급하는 무효 전력

상당 정전 용량

답

시정수와 최종 전류

시간에 대해 풀기

답

초기 커패시터 전압

스위치가 열린 뒤의 시정수

방전

답

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

개방 전압 Vth 구하기

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

개방 전압 Vth 구하기

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

차단 주파수

위상

답

위상 교차

위상 교차 주파수에서의 크기

필요한 이득

답

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

개방 전압 V_th 구하기

모든 전원을 끄고 R_th 구하기

개방 전압 V_th 구하기