회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

복소수

직각 형식
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
절댓값과 편각
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
극형식과 지수 형식
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
나눗셈
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
곱과 몫
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
드무아브르
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n제곱근
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q인 이차방정식
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

방법

  1. 연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
  2. 곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
  3. r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
  4. 거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 공진, Q 인자, 대역폭

고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)

방법

  1. 먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
  2. 회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
  3. 대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
  4. 에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.복소수보통
ReIm11−1−122−2−2θz

복소수 z = 2·ej1.2의 각은 라디안이다. 허수부 b을(를) 구하라.

r = 2θ = 1.2 rad
b =
2.복소수어려움
ReIm11−1−122−2−2θz

드무아브르의 정리를 이용해 z = 1 − j√3에 대한 z⁷의 실수부를 구하시오.

z = 1 − j√3n = 7
Re(z⁷) =
3.교류 임피던스와 페이저보통
120 V100 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 100 µFI

직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 100 µF
I = A
4.교류 임피던스와 페이저어려움
24 V200 HzR1​ = 15 ΩR2​ = 60 ΩC = 47 µFI

저항 R1이(가) R2와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 24 V(실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR1 = 15 ΩR2 = 60 ΩC = 47 µF
I = A
5.교류 전력과 역률보통
230 V115 kW, 0.727 kW, 0.8I

두 부하가 230 V 단상 전원에 병렬로 연결되어 있다: 지상 역률 0.7의 15 kW 부하와 진상 역률 0.8의 7 kW 부하. 전원에서 본 전체 역률 cos φ을(를) 구하시오.

V = 230 VP1 = 15 kW, pf1 = 0.7 지상P2 = 7 kW, pf2 = 0.8 진상
cos φ =
6.교류 전력과 역률어려움
P1​ = 78 kWQ1​S1​φ

200 kVA 단상 변압기가 지상 역률 0.65의 78 kW 부하에 전력을 공급한다. 변압기가 kVA 정격에 도달하기 전까지 저항성(역률 1) 부하로 추가할 수 있는 유효 전력 ΔP은(는) 얼마인가?

Smax = 200 kVAP1 = 78 kWpf1 = 0.65
ΔP = kW
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 47 µHC = 1 µF

L = 47 µH, C = 1 µF인 이상적인 LC 회로에서 t = 0에 커패시터가 완전히 충전되어 있습니다. 모든 에너지가 인덕터에 있게 되기까지 얼마나 걸립니까? t을(를) µs 단위로 구하시오.

L = 47 µHC = 1 µF
t = µs
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
C = 1 nFr = 2 ΩL = 100 µH

병렬 탱크 회로가 1 nF 커패시터와 권선 저항 2 Ω의 100 µH 코일로 이루어져 있습니다. 공진에서 이 회로는 저항처럼 동작하며 동적 저항은 RD = L/(C·r)입니다. RD을(를) kΩ 단위로 구하시오.

L = 100 µHC = 1 nFr = 2 Ω
RD = kΩ
9.3상 전력보통
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M90 kW, η = 92%cos φ = 0.88

3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 90 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 92%, 역률은 0.88(지상)이다. 전원의 선간 전압은 415 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.

Pout = 90 kWη = 92%cos φ = 0.88VL = 415 V
IL = A
10.3상 전력어려움
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 480 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.7(지상)로 300 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 300 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC·RL 과도 현상보통
+−Vs​9 Vt = 0R = 100 ΩL22 mHi(t)

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 1 ms에서 인덕터 전압 vL을(를) 구하시오.

Vs = 9 VR = 100 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vL = V
12.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​12 Vt = 0R = 10 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 18 V이다. vC이(가) 15.6 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

Vs = 12 VR = 10 kΩC = 22 µFvC(0) = 18 V
t = ms
13.테브난·노턴보통
R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAab

노턴 전류 IN을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.

V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
14.테브난·노턴어려움
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​5 ABRL​25 ΩIL​

a–b 사이에 부하 RL = 25 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 PL을(를) 구하시오.

V1 = 36 VIs = 5 AR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 20 ΩRL = 25 Ω
PL = W
15.보드 선도와 여유보통
vin​L = 5 mHC = 0.47 µFR = 2 Ωvout​

그림의 직렬 RLC 대역 통과 필터에서 출력은 R = 2 Ω 양단에서 취하며, L = 5 mH, C = 0.47 µF입니다. 중심(공진) 주파수 f0을(를) Hz 단위로 구하시오.

R = 2 ΩL = 5 mHC = 0.47 µF
f0 = Hz
16.보드 선도와 여유어려움
|H| (dB)0.10.1111010100100−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = 128/(s(s + 8))이다. 위상 여유 PM을(를) 도 단위로 구하시오.

L(s) = 128/(s(s + 8))
PM = °

3용액

1.복소수

답: b = 1.864

극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.

오일러 공식

z = 2·(cos 1.2 + j sin 1.2)

성분(라디안)

a = 2·cos 1.2 = 0.7247
b = 2·sin 1.2 = 1.864
b = 1.864

답

b = 1.864
2.복소수

답: Re(z⁷) = 64

드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.

극형식

z = 1 − j√3 = 2∠−60°

드무아브르

z⁷ = (2)⁷∠−420° = 128∠−60°

직각 형식

z⁷ = 128·(cos −60° + j sin −60°) = 64 − j110.9
Re(z⁷) = 64

답

Re(z⁷) = 64
3.교류 임피던스와 페이저

답: I = 4.08 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (15.5)²) = 29.42 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 120/29.42 = 4.08 A

답

I = 4.08 A
4.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.9613 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

XC = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Zp를 실수부와 허수부로 나누세요.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 4.425 − j15.68 Ω

전체 임피던스

Z = 15 + 4.425 − j15.68 = 19.43 − j15.68 Ω
|Z| = √(19.43² + 15.68²) = 24.97 Ω

전류

I = V/|Z| = 24/24.97 = 0.9613 A

답

I = 0.9613 A
5.교류 전력과 역률

답: cos φ = 0.9095

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

각 부하의 무효 전력

지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).

Q1 = 15·tan(arccos 0.7) = 15.3 kvar
Q2 = −7·tan(arccos 0.8) = −5.25 kvar

합계

P = 15 + 7 = 22 kW
Q = 15.3 + (−5.25) = 10.05 kvar
S = √(22² + 10.05²) = 24.19 kVA

전체 역률

cos φ = P/S = 22/24.19 = 0.9095 지상

답

cos φ = 0.9095
6.교류 전력과 역률

답: ΔP = 100 kW

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

기존 부하의 무효 전력

Q1 = 78·tan(arccos 0.65) = 91.19 kvar

최대 전체 유효 전력

정격 전부에서 S = Smax이며, 저항성 부하는 Q를 바꾸지 않습니다.

P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 91.19²) = 178 kW

추가 유효 전력

ΔP = 178 − 78 = 100 kW

답

ΔP = 100 kW
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: t = 10.77 µs

LC 공진: 충전된 커패시터를 인덕터에 연결하면 전류가 흘러 커패시터를 반대 방향으로 충전합니다. 에너지는 고유 주파수 f0 = 1/(2π√(LC))로 C의 전기장(½Cv²)과 L의 자기장(½Li²) 사이를 오갑니다. 저항이 없으면 전체 에너지 ½CV0²은 일정하므로 최대 전류는 Imax = V0√(C/L)입니다. 한 주기는 T = 1/f0이며, 에너지는 그 사분의 일 동안 C에서 L로 이동합니다.

주기

T = 2π√(4.7 × 10⁻⁵·1 × 10⁻⁶) = 43.08 µs

사분의 일 주기

t = T/4 = 10.77 µs

답

t = 10.77 µs
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: RD = 50 kΩ

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

동적 저항

RD = 1 × 10⁻⁴/(1 × 10⁻⁹·2) = 50000 Ω = 50 kΩ

Q로 확인

Q = (1/r)·√(L/C) = 158.1, Q²·r = 50000 Ω

답

RD = 50 kΩ
9.3상 전력

답: IL = 154.7 A

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

전기 입력 전력

Pin = Pout/η = 90/0.92 = 97.83 kW

선전류

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 97826/(√3·415·0.88) = 154.7 A

답

IL = 154.7 A
10.3상 전력

답: Cph = 940.8 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 300·tan(acos 0.7) = 300·1.02 = 306.1 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.98) = 300·0.2031 = 60.92 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 245.1 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 81715/(377·480²) = 940.8 µF

답

Cph = 940.8 µF
11.RC·RL 과도 현상

답: vL = 0.09554 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 22 mH / 100 Ω = 0.22 ms
i(∞) = Vs/R = 9/100 = 0.09 A

인덕터 전압

t = 0에서는 전원 전압 전체가 인덕터에 걸리고, 이후 0으로 감소합니다.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−1/0.22 = 0.09554 V

답

vL = 0.09554 V
12.RC·RL 과도 현상

답: t = 112.4 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 10 kΩ · 22 µF = 220 ms
vC(t) = 12 + (18 − 12)·e−t/τ

시간에 대해 풀기

15.6 = 12 + (6)·e−t/τ → e−t/τ = (15.6 − 12)/(18 − 12) = 0.6
t = τ·ln((18 − 12)/(15.6 − 12)) = 220·ln(1.667) = 112.4 ms

답

t = 112.4 ms
13.테브난·노턴

답: IN = 0.2542 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω단락R2​5 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 6·5/(6+5) = 2.727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.727 + 8 = 10.73 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·5/(6+5) = 2.727 V
IN​0.2542 ARth​10.73 Ωab

노턴 등가 회로

노턴 전원은 같은 회로를 R_th와 병렬인 전류원으로 본 것입니다. 그 전류는 a–b의 단락 전류입니다.

IN = Vth/Rth = 2.727/10.73 = 0.2542 A
14.테브난·노턴

답: PL = 148.1 W

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω단락R2​2 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 12·2/(12+2) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 20 = 21.71 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​36 VR2​2 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5.143 + 5·1.714 = 13.71 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 13.71 + 5·20 = 113.7 V
Rth​ = 21.71 Ω+−Vth​113.7 VRL​25 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 113.7/(21.71 + 25) = 2.434 A
PL = IL²·RL = 2.434²·25 = 148.1 W
15.보드 선도와 여유

답: f0 = 3283 Hz

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

공진 주파수

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·4.7 × 10⁻⁷) = 20628 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 3283 Hz

답

f0 = 3283 Hz
16.보드 선도와 여유

답: PM = 38.67 °

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

이득 교차

ω⁴ + 64ω² − 16384 = 0
ω² = (−64 + √(4096 + 4·16384))/2 = 99.94
ωc = 9.997 rad/s

위상 여유

∠L(jωc) = −90° − atan(9.997/8) = −141.3°
PM = 180° + ∠L = 38.67°

답

PM = 38.67°

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