22 nF 커패시터를 12 V로 충전해 이상적인 22 µH 인덕터와 진동시킵니다. 커패시터 전압이 9.6 V인 순간에 인덕터에 저장된 에너지 WL을(를) nJ 단위로 구하시오.
C = 22 nFV0 = 12 VvC = 9.6 V
WL = nJ
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
전체 저항 5 Ω, 공진 주파수 200 kHz, 대역폭 8 kHz인 직렬 RLC 필터를 설계합니다. 커패시턴스 C을(를) nF 단위로 구하시오.
R = 5 Ωf0 = 200 kHzBW = 8 kHz
C = nF
9.3상 전력보통
상당 임피던스가 9 + j12 Ω인 평형 Y 결선 부하가 선간 전압 415 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
VL = 415 VZ = 9 + j12 Ω 상당
P = kW
10.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 415 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.72(지상)로 250 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터 뱅크가 공급해야 하는 전체 무효 전력 QC을(를) kvar 단위로 구하시오.
P = 250 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.RC·RL 과도 현상보통
t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 50%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.
Vs = 10 VR = 10 ΩL = 33 mH
t = ms
12.RC·RL 과도 현상어려움
t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 8 V이다. t = 120 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.
Vs = 12 VR = 6.8 kΩC = 33 µFvC(0) = 8 Vt = 120 ms
vC = V
13.테브난·노턴보통
단자 a–b에서 본 테브난 전압 Vth을(를) 구하시오.
V1 = 24 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 Ω
Vth = V
14.테브난·노턴어려움
a–b 사이에 부하 RL = 5 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 PL을(를) 구하시오.
ω = 0.5 rad/s에서 G(s) = 28(s + 16)/(s(s + 2))의 위상 ∠G(jω)을(를) 도 단위로 구하시오.
G(s) = 28(s + 16)/(s(s + 2))ω = 0.5 rad/s
∠G(jω) = °
16.보드 선도와 여유어려움
단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = 186/(s(s + 4)(s + 9))이다. ∠L(jω) = −180°인 위상 교차 주파수 ω180을(를) 구하시오.
L(s) = 186/(s(s + 4)(s + 9))
ω180 = rad/s
3용액
1.복소수
답: a = 3.484
극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.
오일러 공식
z = 5·(cos 0.8 + j sin 0.8)
성분(라디안)
a = 5·cos 0.8 = 3.484
b = 5·sin 0.8 = 3.587
a = 3.484
답
a = 3.484
2.복소수
답: Re(z⁵) = −128
드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.
극형식
z = 2 + j2 = 2√2∠45°
드무아브르
z⁵ = (2√2)⁵∠225° = 181∠−135°
직각 형식
z⁵ = 181·(cos −135° + j sin −135°) = −128 − j128
Re(z⁵) = −128
답
Re(z⁵) = −128
3.교류 임피던스와 페이저
답: C = 0.2533 µF
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
공진 조건
공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0.1) = 0.2533 µF
답
C = 0.2533 µF
4.교류 임피던스와 페이저
답: VL = 153.8 V
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
공진
공진에서는 리액턴스가 상쇄되므로 임피던스는 R뿐입니다.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·0.47·10⁻⁶) = 4613 rad/s
I = V/R = 5/15 = 0.3333 A
인덕터 양단의 전압
XL = ω₀L = 4613·0.1 = 461.3 Ω
VL = I·XL = 0.3333·461.3 = 153.8 V
답
VL = 153.8 V
이는 전원 전압의 Q = 30.75배입니다.
5.교류 전력과 역률
답: Q = 645.1 var
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
전류
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 240/25 = 9.6 A
무효 전력
Q = I²·X = 9.6²·7 = 645.1 var
답
Q = 645.1 var
6.교류 전력과 역률
답: C = 1143 µF
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.
Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(41.41°) = 44.1 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(23.07°) = 21.3 kvar
QC = Q1 − Q2 = 22.8 kvar
정전 용량
전원에 병렬로 연결한 커패시터는 Q = V²·ωC를 공급합니다.
C = QC/(2πf·V²) = 22796/(2π·60·230²) = 1143 µF
답
C = 1143 µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭
답: WL = 570.2 nJ
LC 공진: 충전된 커패시터를 인덕터에 연결하면 전류가 흘러 커패시터를 반대 방향으로 충전합니다. 에너지는 고유 주파수 f0 = 1/(2π√(LC))로 C의 전기장(½Cv²)과 L의 자기장(½Li²) 사이를 오갑니다. 저항이 없으면 전체 에너지 ½CV0²은 일정하므로 최대 전류는 Imax = V0√(C/L)입니다. 한 주기는 T = 1/f0이며, 에너지는 그 사분의 일 동안 C에서 L로 이동합니다.
C = 1/((2π·200000)²·9.947 × 10⁻⁵) = 6.366 × 10⁻⁹ F = 6.366 nF
답
C = 6.366 nF
Q = f₀/BW = 25.
9.3상 전력
답: P = 6.889 kW
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
상전압
Vph = 415/√3 = 239.6 V
상전류
|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
Iph = 239.6/15 = 15.97 A
전체 유효 전력
각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.
P = 3·Iph²·R = 3·15.97²·9 = 6.889 kW
답
P = 6.889 kW
확인: cos φ = R/|Z| = 0.6이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.
10.3상 전력
답: QC = 158.8 kvar
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0.72) = 250·0.9639 = 241 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.95) = 250·0.3287 = 82.17 kvar
커패시터가 공급하는 무효 전력
QC = Q1 − Q2 = 158.8 kvar
답
QC = 158.8 kvar
11.RC·RL 과도 현상
답: t = 2.287 ms
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
시정수와 최종 전류
스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.
τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3.3 ms
i(∞) = Vs/R = 10/10 = 1 A
시간에 대해 풀기
0.5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)
t = −3.3·ln(0.5) = 2.287 ms
답
t = 2.287 ms
12.RC·RL 과도 현상
답: vC = 9.657 V
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
초기값, 최종값, 시정수
커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.
vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 33 µF = 224.4 ms
vC(t) = 12 + (8 − 12)·e−t/τ
주어진 시각의 전압
vC(120) = 12 + (−4)·e−120/224.4 = 9.657 V
답
vC = 9.657 V
13.테브난·노턴
답: Vth = 15 V
테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.
모든 전원을 끄고 Rth 구하기
전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.
R1 ∥ R2 = 3·5/(3+5) = 1.875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.875 + 5 = 6.875 Ω
개방 전압 Vth 구하기
a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·5/(3+5) = 15 V
14.테브난·노턴
답: PL = 9.848 W
테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.
모든 전원을 끄고 Rth 구하기
전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.
R1 ∥ R2 = 25·10/(25+10) = 7.143 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.143 + 30 = 37.14 Ω
개방 전압 Vth 구하기
a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3.429 + 1.5·7.143 = 14.14 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 14.14 + 1.5·30 = 59.14 V
부하를 테브난 등가 회로에 연결하기
테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.
IL = Vth/(Rth + RL) = 59.14/(37.14 + 5) = 1.403 A
PL = IL²·RL = 1.403²·5 = 9.848 W
15.보드 선도와 여유
답: ∠G(jω) = −102.2 °
주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.