회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

복소수

직각 형식
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
절댓값과 편각
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
극형식과 지수 형식
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
나눗셈
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
곱과 몫
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
드무아브르
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n제곱근
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q인 이차방정식
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

방법

  1. 연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
  2. 곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
  3. r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
  4. 거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 공진, Q 인자, 대역폭

고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)

방법

  1. 먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
  2. 회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
  3. 대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
  4. 에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.복소수보통
ReIm55−5−51010−10−10zABCD

그림은 z = 3 + j4을(를) 보여 줍니다. w = 2∠90°일 때 z·w을(를) 나타내는 점을 클릭하세요.

z = 3 + j4w = 2∠90°
  1. 1A (6 + j8)
  2. 2B (−4 + j3)
  3. 3C (8 − j6)
  4. 4D (−8 + j6)
2.복소수어려움
ReIm11−1−122−2−2z₀z₁z₂

n = 3, w = 8∠−60°일 때 zⁿ = w의 근은 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2이다. z₀의 실수부를 구하시오.

w = 8∠−60°n = 3k = 0
Re(z₀) =
3.교류 임피던스와 페이저보통
24 V200 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 10 µFI

직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 전원에서 공급받는 유효 전력 P을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 10 µF
P = W
4.교류 임피던스와 페이저어려움
12 V1000 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 4.7 µFI

직렬 RLC 회로가 12 V (실효값), 1000 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
I = A
5.교류 전력과 역률보통
230 VR + jXP = 1967 W9.5 A

유도성 부하가 230 V(실효값) 단상 전원에서 9.5 A와 1967 W를 소비한다. 이 부하를 저항 R과 리액턴스 X의 직렬로 모델링한다. X을(를) 구하시오.

V = 230 VI = 9.5 AP = 1967 W
X = Ω
6.교류 전력과 역률어려움
P = 35 kWQ1​S1​φ1​QC​

단상 부하가 240 V, 60 Hz 전원에서 지상 역률 0.7로 35 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.98(으)로 높인다. 필요한 정전 용량 C을(를) 구하시오.

P = 35 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98V = 240 Vf = 60 Hz
C = µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
V10 Ω22 µH4.7 nF

직렬 RLC 회로의 R = 10 Ω, L = 22 µH, C = 4.7 nF입니다. 대역폭 BW을(를) kHz 단위로 구하시오.

R = 10 ΩL = 22 µHC = 4.7 nF
BW = kHz
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
V20 ΩLC = ?

전체 저항 20 Ω, 공진 주파수 50 kHz, 대역폭 5 kHz인 직렬 RLC 필터를 설계합니다. 커패시턴스 C을(를) nF 단위로 구하시오.

R = 20 Ωf0 = 50 kHzBW = 5 kHz
C = nF
9.3상 전력보통
ABCVL​ = 208 VIL​ = 120 Acos φ = 0.92지상

평형 3상 부하가 선간 전압 208 V의 전원에서 선전류 120 A를 끌어 쓴다. 역률은 0.92(지상)이다. 부하가 소비하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 208 VIL = 120 Acos φ = 0.92
P = kW
10.3상 전력어려움
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 415 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.78(지상)로 100 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 100 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC·RL 과도 현상보통
+−Vs​24 Vt = 0R1​ = 6.8 kΩR2​ = 10 kΩC100 µF+−vC​

전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 500 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.

Vs = 24 VR1 = 6.8 kΩR2 = 10 kΩC = 100 µFt = 500 ms
vC = V
12.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​10 Vt = 0R = 4.7 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 5 V이다. vC이(가) 9 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

Vs = 10 VR = 4.7 kΩC = 220 µFvC(0) = 5 V
t = ms
13.테브난·노턴보통
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAab

단자 a–b에서 본 테브난 저항 Rth을(를) 구하시오.

V1 = 9 VR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 Ω
Rth = Ω
14.테브난·노턴어려움
R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​36 VR2​15 ΩAIs​0.5 ABab

단자 a–b에서 본 테브난 전압 Vth을(를) 구하시오.

V1 = 36 VIs = 0.5 AR1 = 12 ΩR2 = 15 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
15.보드 선도와 여유보통
vin​R = 3.3 kΩC = 1 nFvout​

그림의 RC 저역 통과 필터은(는) R = 3.3 kΩ, C = 1 nF을(를) 가집니다. 9.6 kHz의 정현파 입력이 가해집니다. vin에 대한 vout의 위상 이동 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

R = 3.3 kΩC = 1 nFf = 9.6 kHz
φ = °
16.보드 선도와 여유어려움
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = 534/(s(s + 6)(s + 8))이다. ∠L(jω) = −180°인 위상 교차 주파수 ω180을(를) 구하시오.

L(s) = 534/(s(s + 6)(s + 8))
ω180 = rad/s

3용액

1.복소수

답: D (−8 + j6)

극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.

w의 효과

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 90°

그 점

z·w = −8 + j6 → D

답

D (−8 + j6)
2.복소수

답: Re(z₀) = 1.879

드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.

근의 절댓값

81/3 = 2

근의 편각

θ₀ = (−60° + 360°·0)/3 = −20°

직각 형식

z₀ = 2·(cos −20° + j sin −20°) = 1.879 − j0.684
Re(z₀) = 1.879

답

Re(z₀) = 1.879

3개의 근이 반지름 2인 원 위에 120° 간격으로 놓입니다.

3.교류 임피던스와 페이저

답: P = 17.09 W

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

XL = 62.83 Ω, XC = 79.58 Ω

임피던스

|Z| = √(15² + (−16.75)²) = 22.48 Ω

유효 전력

인덕터와 커패시터는 에너지를 저장했다가 돌려줄 뿐이며, 저항이 유효 전력을 모두 흡수합니다.

I = 24/22.48 = 1.068 A
P = I²·R = 1.068²·15 = 17.09 W

답

P = 17.09 W
4.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.04032 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·4.7·10⁻⁶) = 33.86 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (280.3)²) = 297.6 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 12/297.6 = 0.04032 A

답

I = 0.04032 A
5.교류 전력과 역률

답: X = 10.54 Ω

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

유효 전력에서 구한 저항

R = P/I² = 1967/9.5² = 21.8 Ω

임피던스에서 구한 리액턴스

|Z| = V/I = 230/9.5 = 24.21 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(24.21² − 21.8²) = 10.54 Ω

답

X = 10.54 Ω
6.교류 전력과 역률

답: C = 1317 µF

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(45.57°) = 35.71 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(11.48°) = 7.107 kvar
QC = Q1 − Q2 = 28.6 kvar

정전 용량

전원에 병렬로 연결한 커패시터는 Q = V²·ωC를 공급합니다.

C = QC/(2πf·V²) = 28600/(2π·60·240²) = 1317 µF

답

C = 1317 µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: BW = 72.34 kHz

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

rad/s 단위의 대역폭

R/L = 10/2.2 × 10⁻⁵ = 454545 rad/s

Hz 단위의 대역폭

BW = 454545/(2π) = 72343 Hz = 72.34 kHz

답

BW = 72.34 kHz

f₀ = 494.9 kHz이면 Q = 6.842입니다.

8.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: C = 15.92 nF

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

대역폭으로부터 구한 인덕턴스

L = R/(2π·BW) = 20/(2π·5000) = 0.0006366 H

공진 주파수로부터 구한 커패시턴스

C = 1/((2π·50000)²·0.0006366) = 1.592 × 10⁻⁸ F = 15.92 nF

답

C = 15.92 nF

Q = f₀/BW = 10.

9.3상 전력

답: P = 39.77 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

피상 전력

S = √3·VL·IL = √3·208·120 = 43.23 kVA

유효 전력

P = S·cos φ = 43.23·0.92 = 39.77 kW

답

P = 39.77 kW
10.3상 전력

답: Cph = 243.1 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0.78) = 100·0.8023 = 80.23 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 47.36 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 15787/(377·415²) = 243.1 µF

답

Cph = 243.1 µF
11.RC·RL 과도 현상

답: vC = 10.13 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

커패시터에서 본 테브난 등가 회로

Rth를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.

Rth = R1 ∥ R2 = 6.8·10/(6.8 + 10) = 4.048 kΩ
vC(∞) = 24·10/(6.8 + 10) = 14.29 V

시정수

τ = Rth·C = 4.048·100 = 404.8 ms

충전 곡선

vC(t) = 14.29·(1 − e−500/404.8) = 10.13 V

답

vC = 10.13 V
12.RC·RL 과도 현상

답: t = 1664 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 220 µF = 1034 ms
vC(t) = 10 + (5 − 10)·e−t/τ

시간에 대해 풀기

9 = 10 + (−5)·e−t/τ → e−t/τ = (9 − 10)/(5 − 10) = 0.2
t = τ·ln((5 − 10)/(9 − 10)) = 1034·ln(5) = 1664 ms

답

t = 1664 ms
13.테브난·노턴

답: Rth = 6 Ω

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω단락R2​6 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 6·6/(6+6) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 3 = 6 Ω
14.테브난·노턴

답: Vth = 24.33 V

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω단락R2​15 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 12·15/(12+15) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 2 = 8.667 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​36 VR2​15 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 20 + 0.5·6.667 = 23.33 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 23.33 + 0.5·2 = 24.33 V
15.보드 선도와 여유

답: φ = −11.26 °

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

차단 주파수

ωc = 1/(RC) = 1/(3300·1 × 10⁻⁹) = 303030 rad/s
fc = 48229 Hz → f/fc = 9600/48229 = 0.1991

위상

φ = − atan(0.1991) = −11.26°

답

φ = −11.26°
16.보드 선도와 여유

답: ω180 = 6.928 rad/s

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

위상 교차

(ω/6)·(ω/8) = 1 → ω180 = √(6·8) = 6.928 rad/s

답

ω180 = 6.928 rad/s

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