회로이론 2: 교류 회로: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

복소수

직각 형식
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
절댓값과 편각
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
극형식과 지수 형식
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
나눗셈
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
곱과 몫
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
드무아브르
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n제곱근
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q인 이차방정식
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

방법

  1. 연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
  2. 곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
  3. r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
  4. 거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 공진, Q 인자, 대역폭

고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)

방법

  1. 먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
  2. 회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
  3. 대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
  4. 에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

테브난·노턴

테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

방법

  1. 부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
  2. a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
  3. 모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
  4. 부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
  5. 노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.

2연습 문제

1.복소수보통
ReIm55−5−5θz

z = −7 − j의 편각 θ을(를) −180°와 180° 사이의 주값으로 도 단위로 구하시오.

z = −7 − j
θ = °
2.복소수어려움
ReIm11−1−122−2−233−3−3θz

(1 + j3)³의 허수부를 구하시오.

z = 1 + j3n = 3
Im(z³) =
3.교류 임피던스와 페이저보통
100 V100 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 47 µF

직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 47 µF
φ = °
4.교류 임피던스와 페이저어려움
10 V1000 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 2.2 µFI

직렬 RLC 회로가 10 V (실효값), 1000 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
I = A
5.교류 전력과 역률보통
240 V126 kW, 0.75213 kW, 0.9I = ?

두 부하가 240 V 단상 전원에 병렬로 연결되어 있다: 지상 역률 0.75의 26 kW 부하와 지상 역률 0.9의 13 kW 부하. 전원에서 흐르는 전체 전류 I을(를) 구하시오.

V = 240 VP1 = 26 kW, pf1 = 0.75 지상P2 = 13 kW, pf2 = 0.9 지상
I = A
6.교류 전력과 역률어려움
P = 5 kWQ1​S1​φ1​QC​

단상 부하가 230 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.6로 5 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.92(으)로 높인다. 새 선전류 Inew을(를) 구하시오.

P = 5 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.92V = 230 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
f|I|0.7071500 kHzf1​ = ?f2​BW

직렬 RLC 회로가 500 kHz에서 공진하고 Q = 5입니다. 낮은 쪽 반전력 주파수 f1을(를) kHz 단위로 정확하게 구하시오.

f0 = 500 kHzQ = 5
f1 = kHz
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
V100 ΩLC = ?

전체 저항 100 Ω, 공진 주파수 20 kHz, 대역폭 1 kHz인 직렬 RLC 필터를 설계합니다. 커패시턴스 C을(를) nF 단위로 구하시오.

R = 100 Ωf0 = 20 kHzBW = 1 kHz
C = nF
9.3상 전력보통
ABCVL​ = 415 VNZ = 12 + j16 Ω상당

상당 임피던스가 12 + j16 Ω인 평형 Y 결선 부하가 선간 전압 415 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 415 VZ = 12 + j16 Ω 상당
P = kW
10.3상 전력어려움
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

평형 3상 부하가 415 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.75(지상)로 50 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터 뱅크가 공급해야 하는 전체 무효 전력 QC을(를) kvar 단위로 구하시오.

P = 50 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.98VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC·RL 과도 현상보통
R = 20 Ωt = 0L150 mHi(t)

인덕터에 1 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. 전류가 0.5 A로 떨어지는 데 얼마나 걸리는가? t을(를) 구하시오.

i(0) = 1 AR = 20 ΩL = 150 mH
t = ms
12.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​15 Vt = 0R = 10 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 5 V이다. vC이(가) 10 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

Vs = 15 VR = 10 kΩC = 33 µFvC(0) = 5 V
t = ms
13.테브난·노턴보통
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩARL​5 ΩIL​B

a–b 사이에 부하 RL = 5 Ω을 연결한다. 나머지 회로를 테브난 등가 회로로 바꾸고 부하 전류 IL을(를) 구하시오.

V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩRL = 5 Ω
IL = A
14.테브난·노턴어려움
R1​ = 25 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAIs​0.5 ABRL​8 ΩIL​

a–b 사이에 부하 RL = 8 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 PL을(를) 구하시오.

V1 = 24 VIs = 0.5 AR1 = 25 ΩR2 = 5 ΩR3 = 30 ΩRL = 8 Ω
PL = W
15.보드 선도와 여유보통
vin​C = 10 nFR = 47 kΩvout​

그림의 RC 고역 통과 필터은(는) R = 47 kΩ, C = 10 nF을(를) 가집니다. 85 Hz의 정현파 입력이 가해집니다. vin에 대한 vout의 위상 이동 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

R = 47 kΩC = 10 nFf = 85 Hz
φ = °
16.보드 선도와 여유어려움
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = 866/(s(s + 8)(s + 9))이다. ∠L(jω) = −180°인 위상 교차 주파수 ω180을(를) 구하시오.

L(s) = 866/(s(s + 8)(s + 9))
ω180 = rad/s

3용액

1.복소수

답: θ = −171.9 °

극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.

사분면

a = −7, b = −1 → III

기준각

α = atan(1/7) = 8.13°

편각

θ = −(180° − α) = −171.9°

답

θ = −171.9°

극형식으로 z = 7.071∠−171.9°.

2.복소수

답: Im(z³) = −18

드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.

단계별 거듭제곱

z² = (1 + j3)(1 + j3) = −8 + j6
z³ = (−8 + j6)(1 + j3) = −26 − j18

드무아브르로 검산

z = 3.162∠71.57° → z³ = 31.62∠−145.3°
Im(z³) = −18

답

Im(z³) = −18
3.교류 임피던스와 페이저

답: φ = −6.975 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·47·10⁻⁶) = 33.86 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−2.447)²) = 20.15 Ω

위상각

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−2.447/20) = −6.975°

답

φ = −6.975°
4.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.01796 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.1 = 628.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·2.2·10⁻⁶) = 72.34 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (556)²) = 556.8 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 10/556.8 = 0.01796 A

답

I = 0.01796 A
5.교류 전력과 역률

답: I = 203.1 A

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

각 부하의 무효 전력

지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).

Q1 = 26·tan(arccos 0.75) = 22.93 kvar
Q2 = 13·tan(arccos 0.9) = 6.296 kvar

합계

P = 26 + 13 = 39 kW
Q = 22.93 + 6.296 = 29.23 kvar
S = √(39² + 29.23²) = 48.74 kVA

전체 전류

I = S/V = 48736/240 = 203.1 A

답

I = 203.1 A
6.교류 전력과 역률

답: Inew = 23.63 A

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q1 = P·tan φ1 = 5·tan(53.13°) = 6.667 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 5·tan(23.07°) = 2.13 kvar
QC = Q1 − Q2 = 4.537 kvar

새 선전류

Inew = P/(V·cos φ2) = 5000/(230·0.92) = 23.63 A

답

Inew = 23.63 A
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: f1 = 452.5 kHz

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

제곱근 항

√(1 + 1/(4·5²)) = 1.005

낮은 쪽 반전력 주파수

f1 = 500000·(1.005 − 0.1) = 452494 Hz = 452.5 kHz

답

f1 = 452.5 kHz

높은 쪽은 f₂ = 552.5 kHz입니다. 확인: f₂ − f₁ = 100 kHz = f₀/Q.

8.LC 공진, Q 인자, 대역폭

답: C = 3.979 nF

Q 인자와 대역폭: 공진 회로에서 Q = 2π·(저장된 에너지)/(한 주기당 손실된 에너지)입니다. 직렬 RLC에서는 Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C), 병렬 RLC에서는 Q = R/(ω0L) = R√(C/L)입니다. 반전력 주파수 f1과 f2(전력이 절반이고 전류나 전압이 최댓값의 1/√2인 주파수) 사이의 대역폭은 BW = f2 − f1 = f0/Q이며, 직렬에서는 R/(2πL), 병렬에서는 1/(2πRC)입니다. 공진 주파수는 기하평균 f0 = √(f1f2)이고, f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))입니다. 손실은 진동을 감쇠시키기도 합니다: 직렬 RLC에서 진폭은 e−Rt/(2L)로 줄어듭니다.

대역폭으로부터 구한 인덕턴스

L = R/(2π·BW) = 100/(2π·1000) = 0.01592 H

공진 주파수로부터 구한 커패시턴스

C = 1/((2π·20000)²·0.01592) = 3.979 × 10⁻⁹ F = 3.979 nF

답

C = 3.979 nF

Q = f₀/BW = 20.

9.3상 전력

답: P = 5.167 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

상전압

Vph = 415/√3 = 239.6 V

상전류

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω
Iph = 239.6/20 = 11.98 A

전체 유효 전력

각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.

P = 3·Iph²·R = 3·11.98²·12 = 5.167 kW

답

P = 5.167 kW

확인: cos φ = R/|Z| = 0.6이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.

10.3상 전력

답: QC = 33.94 kvar

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 50·tan(acos 0.75) = 50·0.8819 = 44.1 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.98) = 50·0.2031 = 10.15 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 33.94 kvar

답

QC = 33.94 kvar
11.RC·RL 과도 현상

답: t = 5.199 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7.5 ms

시간에 대해 풀기

0.5 = 1·e−t/τ → t = τ·ln(1/0.5)
t = 7.5·ln(2) = 5.199 ms

답

t = 5.199 ms
12.RC·RL 과도 현상

답: t = 228.7 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms
vC(t) = 15 + (5 − 15)·e−t/τ

시간에 대해 풀기

10 = 15 + (−10)·e−t/τ → e−t/τ = (10 − 15)/(5 − 15) = 0.5
t = τ·ln((5 − 15)/(10 − 15)) = 330·ln(2) = 228.7 ms

답

t = 228.7 ms
13.테브난·노턴

답: IL = 0.1303 A

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω단락R2​4 ΩAabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 15·4/(15+4) = 3.158 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.158 + 8 = 11.16 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·4/(15+4) = 2.105 V
Rth​ = 11.16 Ω+−Vth​2.105 VRL​5 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 2.105/(11.16 + 5) = 0.1303 A
14.테브난·노턴

답: PL = 2 W

테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.

R1​ = 25 ΩR3​ = 30 Ω단락R2​5 ΩA개방BabRth​

모든 전원을 끄고 Rth 구하기

전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.

R1 ∥ R2 = 25·5/(25+5) = 4.167 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.167 + 30 = 34.17 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAIs​0.5 ABab+−Vth​

개방 전압 Vth 구하기

a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4 + 0.5·4.167 = 6.083 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 6.083 + 0.5·30 = 21.08 V
Rth​ = 34.17 Ω+−Vth​21.08 VRL​8 ΩIL​

부하를 테브난 등가 회로에 연결하기

테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.

IL = Vth/(Rth + RL) = 21.08/(34.17 + 8) = 0.5 A
PL = IL²·RL = 0.5²·8 = 2 W
15.보드 선도와 여유

답: φ = 75.91 °

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

차단 주파수

ωc = 1/(RC) = 1/(47000·1 × 10⁻⁸) = 2128 rad/s
fc = 338.6 Hz → f/fc = 85/338.6 = 0.251

위상

φ = 90° − atan(0.251) = 75.91°

답

φ = 75.91°
16.보드 선도와 여유

답: ω180 = 8.485 rad/s

주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.

위상 교차

(ω/8)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(8·9) = 8.485 rad/s

답

ω180 = 8.485 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2