연산에 맞는 형식을 고르세요: 덧셈과 뺄셈에는 직각 형식 a + jb, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 거듭제곱근에는 극형식 r∠θ.
곱셈은 j² = −1로 전개하고, 나눗셈은 분자와 분모에 분모의 켤레복소수를 곱하세요.
r = √(a² + b²)로, θ는 점의 스케치(사분면 확인)로 변환하고, a = r cos θ, b = r sin θ로 되돌리세요.
거듭제곱에는 드무아브르 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 쓰고, zⁿ = R∠φ는 n개의 근 R1/n∠((φ + 360°k)/n)을 모두 나열하세요.
교류 임피던스와 페이저
임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z
방법
주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
교류 전력과 역률
유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC 공진, Q 인자, 대역폭
고유 진동수
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
에너지
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
최대 전류
Imax = V0√(C/L)
선택도
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
직렬 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
병렬 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
대역폭
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
반전력 주파수
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
코일 저항 r이 있는 탱크 회로
RD = L/(C·r) = Q²·r
진폭의 감쇠
e−Rt/(2L)
방법
먼저 공진 주파수를 구하세요: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = ω₀/(2π).
회로가 직렬인지 병렬인지 판단하세요: 직렬 Q = (1/R)√(L/C), 병렬 Q = R√(C/L).
대역폭은 BW = f₀/Q로 구하거나, 지름길 공식 R/(2πL)(직렬), 1/(2πRC)(병렬)를 사용하세요.
에너지 문제에서는 이상적인 LC 회로에서 전체 에너지 ½CV₀²이 일정하며 사분의 일 주기마다 C와 L 사이를 오간다는 점을 이용하세요.
3상 전력
Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η
RC·RL 과도 현상
시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ
방법
스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
테브난·노턴
테브난 전압
Vth = Vopen circuit
테브난 저항
Rth: 모든 전원을 제거하고 a–b에서 본 저항
노턴 전류
IN = Vth/Rth
부하 전류
IL = Vth/(Rth + RL)
최대 전력 전달
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
방법
부하를 떼어 내고 두 단자를 a와 b로 표시하세요.
a와 b 사이의 개방 전압을 구하세요. 이것이 Vth입니다.
모든 독립 전원을 끄고 a–b에서 본 저항을 구하세요. 이것이 Rth입니다.
부하를 등가 회로에 다시 연결합니다: Vth와 Rth의 직렬.
노턴 등가 회로로 변환합니다: IN = Vth/Rth, RN = Rth를 병렬로.
2연습 문제
1.복소수보통
z = −3 − j3의 편각 θ을(를) −180°와 180° 사이의 주값으로 도 단위로 구하시오.
z = −3 − j3
θ = °
2.복소수어려움
n = 5, w = 32∠60°일 때 zⁿ = w의 근은 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 4이다. z₄의 허수부를 구하시오.
w = 32∠60°n = 5k = 4
Im(z₄) =
3.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 10 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).
V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 10 µF
φ = °
4.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로의 R = 50 Ω, L = 200 mH, C = 1 µF이다. 대역폭 B(반전력 주파수 사이 대역의 폭)을(를) Hz로 구하시오.
R = 50 ΩL = 200 mHC = 1 µF
B = Hz
5.교류 전력과 역률보통
단상 전동기가 240 V 전원에서 지상 역률 0.6로 31 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.
P = 31 kWpf = 0.6V = 240 V
Q = kvar
6.교류 전력과 역률어려움
120 V(실효값), 1000 Hz 전원의 내부 임피던스는 Zs = 50 + j3 Ω이다. 부하 임피던스 ZL은(는) 자유롭게 선택할 수 있다. 최대 전력을 위한 부하는 저항과 커패시터의 직렬로 만든다. 커패시턴스 C을(를) 구하시오.
Vs = 120 V (rms)f = 1000 HzZs = 50 + j3 Ω
C = µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭보통
10 µF 커패시터를 15 V로 충전해 이상적인 0.47 µH 인덕터와 진동시킵니다. 커패시터 전압이 7.5 V인 순간에 인덕터에 저장된 에너지 WL을(를) µJ 단위로 구하시오.
C = 10 µFV0 = 15 VvC = 7.5 V
WL = µJ
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
충전된 100 nF 커패시터가 전체 직렬 저항 1 Ω의 47 µH 코일을 통해 방전되어 진동이 서서히 사라집니다. 진폭은 e−Rt/(2L)로 감쇠합니다. 진폭이 절반이 되기까지 진동이 몇 주기 n가 지나갑니까? (손실이 작으므로 주파수는 f₀입니다.)
L = 47 µHC = 100 nFR = 1 Ω
n =
9.3상 전력보통
상당 임피던스가 24 + j7 Ω인 평형 Y 결선 부하가 선간 전압 400 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
VL = 400 VZ = 24 + j7 Ω 상당
P = kW
10.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 400 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.7(지상)로 120 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터 뱅크가 공급해야 하는 전체 무효 전력 QC을(를) kvar 단위로 구하시오.
P = 120 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC·RL 과도 현상보통
t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 2 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.
Vs = 9 VR = 100 ΩL = 150 mHt = 2 ms
i = A
12.RC·RL 과도 현상어려움
t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 15 V이다. vC이(가) 19.5 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.
Vs = 24 VR = 10 kΩC = 33 µFvC(0) = 15 V
t = ms
13.테브난·노턴보통
단자 a–b에서 본 테브난 전압 Vth을(를) 구하시오.
V1 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
14.테브난·노턴어려움
노턴 전류 IN을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.
V1 = 30 VIs = 6 AR1 = 3 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 Ω
IN = A
15.보드 선도와 여유보통
ω = 0.5 rad/s에서 G(s) = 120/((s + 3)(s + 4))의 정확한 크기 |G(jω)|을(를) dB 단위로 구하시오.
G(s) = 120/((s + 3)(s + 4))ω = 0.5 rad/s
|G(jω)| = dB
16.보드 선도와 여유어려움
단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = 8/(s(s + 4))이다. 위상 여유 PM을(를) 도 단위로 구하시오.
L(s) = 8/(s(s + 4))
PM = °
3용액
1.복소수
답: θ = −135 °
극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.
사분면
a = −3, b = −3 → III
기준각
α = atan(3/3) = 45°
편각
θ = −(180° − α) = −135°
답
θ = −135°
극형식으로 z = 4.243∠−135°.
2.복소수
답: Im(z₄) = −1.732
드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.
근의 절댓값
321/5 = 2
근의 편각
θ₄ = (60° + 360°·4)/5 = 300° → −60°
직각 형식
z₄ = 2·(cos −60° + j sin −60°) = 1 − j1.732
Im(z₄) = −1.732
답
Im(z₄) = −1.732
5개의 근이 반지름 2인 원 위에 72° 간격으로 놓입니다.
3.교류 임피던스와 페이저
답: φ = −65.19 °
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
공진 주파수
f0 = 1/(2π·√(0.2·1·10⁻⁶)) = 355.9 Hz
선택도
Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0.2/(1·10⁻⁶)) = 8.944
대역폭
B = f0/Q = 355.9/8.944 = 39.79 Hz
답
B = 39.79 Hz
5.교류 전력과 역률
답: Q = 41.33 kvar
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
위상각
φ = arccos(0.6) = 53.13°, tan φ = 1.333
무효 전력
Q = P·tan φ = 31·1.333 = 41.33 kvar
답
Q = 41.33 kvar
6.교류 전력과 역률
답: C = 53.05 µF
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
켤레 정합
부하 리액턴스는 전원 리액턴스를 상쇄하고, 부하 저항은 전원 저항과 같습니다.
ZL = Zs* = 50 − j3 Ω
정전 용량
XC = 3 Ω → C = 1/(2π·1000·3) = 53.05 µF
답
C = 53.05 µF
7.LC 공진, Q 인자, 대역폭
답: WL = 843.7 µJ
LC 공진: 충전된 커패시터를 인덕터에 연결하면 전류가 흘러 커패시터를 반대 방향으로 충전합니다. 에너지는 고유 주파수 f0 = 1/(2π√(LC))로 C의 전기장(½Cv²)과 L의 자기장(½Li²) 사이를 오갑니다. 저항이 없으면 전체 에너지 ½CV0²은 일정하므로 최대 전류는 Imax = V0√(C/L)입니다. 한 주기는 T = 1/f0이며, 에너지는 그 사분의 일 동안 C에서 L로 이동합니다.
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
상전압
Vph = 400/√3 = 230.9 V
상전류
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 230.9/25 = 9.238 A
전체 유효 전력
각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.
P = 3·Iph²·R = 3·9.238²·24 = 6.144 kW
답
P = 6.144 kW
확인: cos φ = R/|Z| = 0.96이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.
10.3상 전력
답: QC = 64.31 kvar
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0.7) = 120·1.02 = 122.4 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0.9) = 120·0.4843 = 58.12 kvar
커패시터가 공급하는 무효 전력
QC = Q1 − Q2 = 64.31 kvar
답
QC = 64.31 kvar
11.RC·RL 과도 현상
답: i = 0.06628 A
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.