직렬 RLC 회로가 500 kHz에서 공진하고 Q = 5입니다. 낮은 쪽 반전력 주파수 f1을(를) kHz 단위로 정확하게 구하시오.
f0 = 500 kHzQ = 5
f1 = kHz
8.LC 공진, Q 인자, 대역폭어려움
충전된 220 pF 커패시터가 전체 직렬 저항 10 Ω의 470 µH 코일을 통해 방전되어 진동이 서서히 사라집니다. 진폭은 e−Rt/(2L)로 감쇠합니다. 진폭이 절반이 되기까지 진동이 몇 주기 n가 지나갑니까? (손실이 작으므로 주파수는 f₀입니다.)
L = 470 µHC = 220 pFR = 10 Ω
n =
9.3상 전력보통
상당 임피던스가 12 + j5 Ω인 평형 Δ 결선 부하가 선간 전압 415 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
VL = 415 VZ = 12 + j5 Ω 상당
P = kW
10.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 415 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.65(지상)로 80 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터 뱅크가 공급해야 하는 전체 무효 전력 QC을(를) kvar 단위로 구하시오.
P = 80 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.98VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC·RL 과도 현상보통
t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 90%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.
Vs = 6 VR = 10 ΩL = 22 mH
t = ms
12.RC·RL 과도 현상어려움
R2 양단의 스위치가 오랫동안 열려 있었으므로 인덕터 전류는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 닫혀 R2을(를) 단락한다. t = 0 후 얼마 만에 인덕터 전류가 0.153 A에 도달하는가? t을(를) 구하시오.
Vs = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 47 ΩL = 220 mH
t = ms
13.테브난·노턴보통
노턴 전류 IN을(를) 구하시오: 단자를 단락했을 때 a에서 b로 흐르는 전류.
V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
14.테브난·노턴어려움
a–b 사이에 부하 RL = 5 Ω을 연결한다. 테브난 등가 회로를 이용해 부하에 전달되는 전력 PL을(를) 구하시오.
ω = 15 rad/s에서 G(s) = 14(s + 19)/(s(s + 3))의 위상 ∠G(jω)을(를) 도 단위로 구하시오.
G(s) = 14(s + 19)/(s(s + 3))ω = 15 rad/s
∠G(jω) = °
16.보드 선도와 여유어려움
단위 되먹임 루프의 개루프 전달함수는 L(s) = 182/(s(s + 3)(s + 9))이다. 이득 여유 GM을(를) dB 단위로 구하시오.
L(s) = 182/(s(s + 3)(s + 9))
GM = dB
3용액
1.복소수
답: b = 1.368
극형식: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ이며 r = |z|, θ = arg z입니다. 직각 형식으로 되돌리면 a = r cos θ, b = r sin θ입니다. 편각은 사분면을 따져야 합니다. θ = atan(b/a)는 a > 0일 때만 맞고, a < 0이면 180°를 더하거나 뺍니다. 극형식에서는 곱셈이 쉽습니다. 절댓값을 곱하고 편각을 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 편각을 뺍니다.
성분
a = 4·cos(160°) = −3.759
b = 4·sin(160°) = 1.368
직각 형식
z = −3.759 + j1.368
b = 1.368
답
b = 1.368
2.복소수
답: Im(z⁵) = −128
드무아브르와 거듭제곱근: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. 방정식 zⁿ = R∠φ는 정확히 n개의 근을 가지며, 모두 절댓값이 R1/n이고 편각은 k = 0, 1, …, n − 1에 대해 (φ + 360°·k)/n입니다. 근들은 원 위에 360°/n 간격으로 고르게 놓입니다. p² < 4q인 이차방정식 z² + pz + q = 0은 복소수 근 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)를 가지며, 실수 계수 다항식의 복소수 근은 항상 켤레 쌍 a ± jb로 나타납니다.
단계별 거듭제곱
z² = (−2 + j2)(−2 + j2) = −j8
z³ = (−j8)(−2 + j2) = 16 + j16
z⁴ = (16 + j16)(−2 + j2) = −64
z⁵ = (−64)(−2 + j2) = 128 − j128
드무아브르로 검산
z = 2.828∠135° → z⁵ = 181∠−45°
Im(z⁵) = −128
답
Im(z⁵) = −128
3.교류 임피던스와 페이저
답: I = 5.079 A
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω
가지 전류
두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.
IR = V/R = 120/25 = 4.8 A
IX = V/XC = 120/72.34 = 1.659 A
전체 전류
저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.
I = √(IR² + IX²) = √(4.8² + 1.659²) = 5.079 A
답
I = 5.079 A
4.교류 임피던스와 페이저
답: VC = 0.4354 V
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
선전류
일을 하는 것은 유효분뿐이므로 역률로 나눕니다.
I = P/(V·cos φ) = 17000/(240·0.8) = 88.54 A
답
I = 88.54 A
6.교류 전력과 역률
답: Inew = 38.27 A
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
상전압
Vph = VL = 415 V
상전류
|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
Iph = 415/13 = 31.92 A
전체 유효 전력
각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.
P = 3·Iph²·R = 3·31.92²·12 = 36.69 kW
답
P = 36.69 kW
확인: cos φ = R/|Z| = 0.9231이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.
10.3상 전력
답: QC = 77.29 kvar
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.
Q1 = 80·tan(acos 0.65) = 80·1.169 = 93.53 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.98) = 80·0.2031 = 16.24 kvar
커패시터가 공급하는 무효 전력
QC = Q1 − Q2 = 77.29 kvar
답
QC = 77.29 kvar
11.RC·RL 과도 현상
답: t = 5.066 ms
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
시정수와 최종 전류
스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.
τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2.2 ms
i(∞) = Vs/R = 6/10 = 0.6 A
시간에 대해 풀기
0.9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)
t = −2.2·ln(0.1) = 5.066 ms
답
t = 5.066 ms
12.RC·RL 과도 현상
답: t = 3.947 ms
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
초기값, 최종값, 시정수
t = 0 전에는 두 저항이 모두 루프에 있고, 그 후에는 닫힌 스위치가 R₂를 우회합니다.
i(0) = 6/(20 + 47) = 0.08955 A
i(∞) = 6/20 = 0.3 A
τ = L/R = 220/20 = 11 ms
i(t) = 0.3 + (0.08955 − 0.3)·e−t/τ
시간에 대해 풀기
e−t/τ = (0.153 − 0.3)/(0.08955 − 0.3) = 0.6985
t = 11·ln(1.432) = 3.947 ms
답
t = 3.947 ms
13.테브난·노턴
답: IN = 1.029 A
테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.
모든 전원을 끄고 Rth 구하기
전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.
R1 ∥ R2 = 5·6/(5+6) = 2.727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.727 + 10 = 12.73 Ω
개방 전압 Vth 구하기
a–b가 개방되면 R₃에 전류가 흐르지 않으므로 전압 강하가 없고 V_b = V_A입니다. R₁과 R₂는 전압 분배기를 이룹니다.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·6/(5+6) = 13.09 V
노턴 등가 회로
노턴 전원은 같은 회로를 R_th와 병렬인 전류원으로 본 것입니다. 그 전류는 a–b의 단락 전류입니다.
IN = Vth/Rth = 13.09/12.73 = 1.029 A
14.테브난·노턴
답: PL = 140.6 W
테브난 정리: 모든 선형 2단자 회로는 하나의 전압원 Vth와 저항 Rth의 직렬 회로처럼 동작합니다. 노턴 정리는 같은 회로를 전류원 IN = Vth/Rth와 Rth의 병렬 회로로 나타냅니다.
모든 전원을 끄고 Rth 구하기
전압원은 단락으로, 전류원은 개방으로 바꾼 뒤 a–b에서 회로를 들여다봅니다.
R1 ∥ R2 = 3·30/(3+30) = 2.727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.727 + 4 = 6.727 Ω
개방 전압 Vth 구하기
a–b가 개방되면 Iₛ가 흐를 수 있는 경로는 R₃를 거쳐 마디 A로 가는 것뿐입니다. V₁과 Iₛ의 중첩으로 V_A를 구한 뒤 R₃의 전압 강하를 더합니다.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 21.82 + 6·2.727 = 38.18 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 38.18 + 6·4 = 62.18 V
부하를 테브난 등가 회로에 연결하기
테브난 전원과 직렬 R_th는 a–b에서 원래 회로와 똑같이 동작하므로, 부하는 단순한 직렬 루프를 보게 됩니다.
IL = Vth/(Rth + RL) = 62.18/(6.727 + 5) = 5.302 A
PL = IL²·RL = 5.302²·5 = 140.6 W
15.보드 선도와 여유
답: ∠G(jω) = −130.4 °
주파수 응답: 전달함수에 s = jω를 대입하세요. 데시벨 크기는 20·log₁₀|H(jω)|이고 위상은 분자 인수들의 각도의 합에서 분모 인수들의 각도를 뺀 값입니다. 1차 RC 또는 RL 필터의 차단(−3 dB) 주파수는 ωc = 1/(RC) 또는 R/L이며 fc = ωc/(2π)입니다. 저역 통과 필터는 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)와 φ = −atan(ω/ωc)를 줍니다. 점근(직선) 보드 선도에서 각 극점은 차단 주파수에서 크기를 10배 주파수당 20 dB씩 아래로 꺾고, 각 영점은 10배 주파수당 20 dB씩 위로 꺾으며, 적분기 1/s는 모든 주파수에서 −20 dB/decade를 줍니다. 이득 교차 주파수 ωc: |L(jω)| = 1(0 dB); 위상 여유 PM = 180° + ∠L(jωc). 위상 교차 주파수 ω180: ∠L(jω) = −180°; 이득 여유 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. 두 여유가 모두 양수이면 폐루프는 안정합니다.