컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 패턴 1010 1001는 부호 있는 정수를 2의 보수로 저장합니다. 10진수 값 N는 얼마일까요?

1010 10018 bit

N =

2.진법어려움

0001 1111 OR 1011 1101의 8비트 결과가 되도록 비트를 설정하세요. 결과의 값 R은 십진수로 얼마입니까?

0001 1111OR1011 1101

R =

3.명제논리와 증명보통

((a → b) ∧ b) → a은(는) 항진명제, 모순, 우연명제 중 무엇인가? 답을 클릭하세요.

((a → b) ∧ b) → a

1항진명제
2모순
3우연명제

4.명제논리와 증명어려움

진리표의 16개 행 중 몇 개에서 (¬(p ∧ ¬s) ∨ (¬r ∧ ¬q)) ∧ ¬(p → (q ↔ r))이(가) 참인가? 이 수를 N(이)라 하자.

(¬(p ∧ ¬s) ∨ (¬r ∧ ¬q)) ∧ ¬(p → (q ↔ r))

N =

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 6, 8, 11, 13)의 최소 합의 곱(POS) 형태를 구하시오. 합항(인수)은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 6, 8, 11, 13)

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 10, 15) + d(2, 6, 9, 13)의 필수 소 임플리컨트의 개수 N을(를) 구하시오.

F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 10, 15) + d(2, 6, 9, 13)

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

25을(를) 법으로 하는 21의 역원, 곧 0 < x < 25이고 21·x ≡ 1 (mod 25)인 수 x을(를) 구하시오.

a = 21n = 25

21⁻¹ mod 25 =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

메시지 m = 415을(를) RSA 공개 키 (n, e) = (533, 7)로 암호화하시오. 암호문 c을(를) 구하시오.

n = 533e = 7m = 415

c =

9.알고리즘과 복잡도보통

문제가 최적 부분 구조를 가진다는 것은 무엇을 의미합니까?

A문제의 최적해가 정확히 하나이며 모든 부분 문제가 그것을 공유한다
B최적해를 부분 문제들의 최적해로부터 만들 수 있다
C모든 부분 문제의 크기가 같다
D문제를 상수 시간에 풀 수 있다

10.알고리즘과 복잡도어려움

상향식(bottom-up) 방법으로 정렬되지 않은 n개의 원소로 이진 힙을 구성하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(log n)
BO(n²)
CO(n log n)
DO(n)

11.자료구조보통

실행 중인 프로그램이 활성 함수 호출과 그 지역 변수를 추적하는 데 사용하는 자료 구조는 무엇입니까?

A함수들의 해시 테이블
B호출 스택(call stack)
C프레임들의 이진 탐색 트리
D힙 메모리 큐

12.자료구조어려움

정렬된 연결 리스트와 비교했을 때 스킵 리스트의 주요 장점은 무엇입니까?

A여러 레벨의 전방 포인터를 사용하여 기대 O(log n) 탐색이 가능하다
B키를 순서 없이 저장한다
C모든 노드가 다른 모든 노드에 대한 포인터를 저장하므로 O(1) 탐색이 보장된다
D추가 메모리를 사용하지 않는다

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 7|E| = 10

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F

d(F) =

15.데이터베이스와 SQL보통

열에 인덱스를 생성하는 이유는 무엇입니까?

A해당 열에 대한 검색과 조인 속도를 높이기 위해
B해당 열에 대한 삽입과 갱신 속도를 높이기 위해
C디스크 공간을 절약하기 위해
DNULL 값을 방지하기 위해

16.데이터베이스와 SQL어려움

SELECT day, SUM(amount) OVER (ORDER BY day) FROM sales는 무엇을 계산합니까?

A모든 행에 대해 전체 amount의 합계
B날짜별 평균 amount
Cday 순서로 정렬한 amount의 누적 합계
D그날의 합계만 담은 날짜별 한 행

17.컴퓨터 네트워크보통

ARP는 무엇을 합니까?

A로컬 네트워크에서 IP 주소에 해당하는 MAC 주소를 찾는다
B도메인 이름을 해석한다
C인터넷에서 패킷을 라우팅한다
D호스트가 로컬 네트워크에 연결될 때 IP 주소를 자동으로 할당한다

18.컴퓨터 네트워크어려움

사이트가 자체 서명 인증서를 제시하면 브라우저가 경고하는 이유는 무엇입니까?

A자체 서명 인증서는 암호화를 전혀 사용하지 않아 트래픽이 평문으로 전송되기 때문이다
B사이트가 HTTPS 대신 HTTP를 사용하고 있어야 하기 때문이다
C신뢰할 수 있는 인증 기관이 그 키가 해당 사이트의 것임을 보증하지 않기 때문이다
D그 인증서는 항상 만료되었기 때문이다

19.IPv4 서브네팅보통

어느 부서가 한 서브넷에 호스트 주소 1598개가 필요합니다. 충분한 가장 긴 접두사 길이 p(가장 작은 서브넷)는 얼마일까요?

1598 hosts

p =

20.IPv4 서브네팅어려움

네트워크 192.168.145.0/24을 다음 LAN들을 위해 VLSM으로 나눕니다: A: 106 호스트, B: 5 호스트, C: 44 호스트, D: 14 호스트. 서브넷은 .0부터 위로, 호스트가 가장 많은 LAN부터, 각각 들어맞는 가장 작은 서브넷으로 할당합니다. LAN B의 네트워크 주소의 네 번째 옥텟 x는 얼마일까요?

A: 106B: 5C: 44D: 14

x =

3용액

1.진법

답: N = −87

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

자리값 더하기

나머지 비트는 원래의 양의 자리값을 유지합니다.

−128 + 32 + 8 + 1 = −87

답

N = −87

2.진법

답: R = 191

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

비트별로

OR은 적어도 하나의 비트가 1인 곳에서 1입니다.

0001 1111

OR 1011 1101

= 1011 1111

결과의 값

1011 1111₂ = 191

답

R = 191

3.명제논리와 증명

답: 우연명제

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

행별 진리표

a = 1, b = 1: a → b = 1, (a → b) ∧ b = 1, ((a → b) ∧ b) → a = 1

a = 1, b = 0: a → b = 0, (a → b) ∧ b = 0, ((a → b) ∧ b) → a = 1

a = 0, b = 1: a → b = 1, (a → b) ∧ b = 1, ((a → b) ∧ b) → a = 0

a = 0, b = 0: a → b = 1, (a → b) ∧ b = 0, ((a → b) ∧ b) → a = 1

분류

((a → b) ∧ b) → a: 1, 1, 0, 1

4개 행 중 3개 행에서는 1이고 나머지에서는 0입니다: 우연 명제(contingency).

답

우연명제

4.명제논리와 증명

답: N = 2

진리표: 서로 다른 변수가 n개인 식은 참값(1 = 참, 0 = 거짓)의 모든 조합마다 하나씩 2ⁿ개의 행을 가집니다. 안쪽부터 바깥쪽으로 작업하고 모든 부분식에 각각 열을 주세요. ¬a는 값을 뒤집습니다. a ∧ b는 둘 다 1일 때만 1입니다. a ∨ b는 둘 다 0일 때만 0입니다. a → b는 a = 1이고 b = 0일 때만 0입니다. a ↔ b는 양쪽이 같을 때 1입니다.

열

¬s; p ∧ ¬s; ¬(p ∧ ¬s); ¬r; ¬q; ¬r ∧ ¬q; ¬(p ∧ ¬s) ∨ (¬r ∧ ¬q); q ↔ r; p → (q ↔ r); ¬(p → (q ↔ r)); (¬(p ∧ ¬s) ∨ (¬r ∧ ¬q)) ∧ ¬(p → (q ↔ r))

p을(를) 기준으로 나누기

p = 1: 2

p = 0: 0

N = 2 + 0 = 2

답

N = 2

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 6

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

0 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

(B′ + C + D)

(B′ + C′ + D′)

(A + C′ + D′)

(A′ + C′ + D)

(A + B′ + D′)

(A′ + B + C + D′)

최소 POS 형태

F = (B′ + C + D)(B′ + C′ + D′)(A + C′ + D′)(A′ + C′ + D)(A + B′ + D′)(A′ + B + C + D′)

N = 6

답

N = 6

같은 크기의 다른 묶음도 있으며, 항과 리터럴의 수는 같습니다.

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 4

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

B′CD′, BC′D, ABD, A′B′C

필수 소 임플리컨트

B′CD′, BC′D, ABD, A′B′C

N = 4

답

N = 4

7.정수론과 모듈러 연산

답: 21⁻¹ mod 25 = 6

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

확장 유클리드 알고리즘

각 나머지 r은 r ≡ t·21 (mod 25)로 쓸 수 있습니다.

r = 25, t = 0

r = 21, q = 1, t = 1

r = 4, q = 5, t = −1

r = 1, q = 4, t = 6

역행렬

1 ≡ 6·21 (mod 25)

x = 6

검산: 21·6 = 126 = 5·25 + 1

답

21⁻¹ mod 25 = 6

8.정수론과 모듈러 연산

답: c = 389

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

반복 제곱

7 = 4 + 2 + 1

415¹ ≡ 415 (mod 533)

A · 여러 레벨의 전방 포인터를 사용하여 기대 O(log n) 탐색이 가능하다

13.그래프 이론

답: 둘 다 아님

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

홀수 정점

A, C, E, G → 4

둘 다 아님

답

둘 다 아님

14.그래프 이론

답: d(F) = 18

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 13, C: 8

C (8): E: 16, G: 21

B (13): D: 15

D (15): F: 18

E (16)

F (18)

G (21)

최단 경로

A → B → D → F

필요한 호스트 비트

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1598

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1598 → h = 11

접두사 길이

p = 32 − 11 = 21

답

p = /21

20.IPv4 서브네팅

답: x = 208

VLSM: 각 LAN은 2ʰ − 2 ≥ 호스트 수인 가장 작은 서브넷, 즉 접두사 32 − h를 받습니다. 가장 큰 서브넷부터 할당하면 모든 블록이 자기 크기의 배수에 정렬되므로, 네트워크 주소는 블록 크기를 더해 나가면 나옵니다.

LAN별 블록 크기

A: 106 호스트 → 2⁷ = 128 (/25)

C: 44 호스트 → 2⁶ = 64 (/26)

D: 14 호스트 → 2⁴ = 16 (/28)

B: 5 호스트 → 2³ = 8 (/29)

큰 것부터 할당

A: .0 – .127

C: .128 – .191

D: .192 – .207

B: .208 – .215

답

x = 208

LAN B: 192.168.145.208/29.

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