컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

−61를 8비트 2의 보수 패턴으로 쓰세요. 그 패턴을 부호 없는 2진수로 읽으면 10진수 값 U는 얼마일까요?

N = −618 bit

U =

2.진법어려움

압축하지 않은 이미지가 1024 × 768 픽셀이고 픽셀당 32비트입니다. 메모리 M를 몇 KiB(1 KiB = 1024바이트) 차지할까요?

1024 × 768 px32 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.명제논리와 증명보통

¬(p → r)와(과) 논리적으로 동치인 식은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬(p → r)

1¬p → ¬r
2¬p ∨ ¬r
3p ∧ ¬r
4p → ¬r

4.명제논리와 증명어려움

전제 p → (q ∨ r); p과(와) 결론 q을(를) 가진 논증은 타당하지 않다. 반례가 되는 진리표의 행을 클릭하세요.

p → (q ∨ r)p∴ q

1p = 1, q = 1, r = 1
2p = 1, q = 1, r = 0
3p = 1, q = 0, r = 1
4p = 1, q = 0, r = 0
5p = 0, q = 1, r = 1
6p = 0, q = 1, r = 0
7p = 0, q = 0, r = 1
8p = 0, q = 0, r = 0

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

F = A′B + A′C + A′B′을(를) 최소 곱의 합 형태로 간소화하시오. 간소화한 식에는 리터럴이 몇 개(L) 있는가?

F = A′B + A′C + A′B′

L =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

3비트 이진 업 카운터은(는) 2(십진수, Q = 010)에서 시작한다. 클록 펄스가 9번 들어온 뒤 어떤 값(Q, 십진수)을 나타내는가?

Q₀ = 29n = 3

Q =

7.정수론과 모듈러 연산보통

37을(를) 법으로 하는 34의 역원, 곧 0 < x < 37이고 34·x ≡ 1 (mod 37)인 수 x을(를) 구하시오.

a = 34n = 37

34⁻¹ mod 37 =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

38x ≡ 4 (mod 46)은(는) {0, 1, …, 45}에서 해가 몇 개(N)인가?

38x ≡ 4 (mod 46)

N =

9.알고리즘과 복잡도보통

원소 n개의 배열에 대한 병합 정렬의 재귀에는 몇 개의 단계가 있습니까?

A약 n / 2
B약 n
C약 log₂ n
D약 √n

10.알고리즘과 복잡도어려움

누군가 NP-complete 문제 하나에 대한 다항 시간 알고리즘을 찾는다면 어떤 결과가 따릅니까?

A모든 지수 시간 알고리즘이 즉시 선형 시간에 실행된다
BNP의 모든 문제를 다항 시간에 풀 수 있으므로 P = NP이다
C정지 문제가 결정 가능해진다
D그 문제 하나만 P로 옮겨진다

11.자료구조보통

인접 행렬로 간선 (u, v)가 존재하는지 확인하는 데 얼마나 걸립니까?

AO(V)
BO(E)
CO(1)
DO(log V)

12.자료구조어려움

위상 정렬을 위한 칸(Kahn) 알고리즘은 진입 차수가 0인 정점을 반복해서 제거합니다. 그런 정점들은 어떤 구조에 보관됩니까?

A진출 차수로 정렬된 최대 힙
B이미 제거된 정점이 어느 것인지 기록하는 인접 행렬
C방문한 모든 간선의 스택
D진입 차수가 0인 정점들의 큐(또는 아무 컬렉션)

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 5

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

A에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2

N =

15.데이터베이스와 SQL보통

한 열에 값 10, 20, NULL이 있습니다. AVG(col)는 무엇을 반환합니까?

A10
B30
CNULL
D15

16.데이터베이스와 SQL어려움

다음 쿼리는 무엇을 반환합니까: SELECT name FROM students WHERE grade > (SELECT AVG(grade) FROM students)?

A최고 성적을 받은 학생만
B평균 성적보다 높은 성적을 받은 학생
CWHERE에서는 서브쿼리를 사용할 수 없으므로 오류
D전체 학생의 평균 성적

17.컴퓨터 네트워크보통

다음 중 사설 IPv4 주소 범위는 무엇입니까?

A192.168.0.0/16
B200.1.1.0/24
C8.8.8.0/24
D100.0.0.0/8

18.컴퓨터 네트워크어려움

TCP 윈도 스케일 옵션이 도입된 이유는 무엇입니까?

A32비트 윈도 필드가 너무 커서 전송되는 모든 TCP 세그먼트의 헤더 공간을 낭비했다
B이것이 없으면 TCP가 장거리 링크에서 손실된 세그먼트를 감지할 수 없었다
C16비트 윈도 필드는 윈도를 65,535바이트로 제한하는데, 이는 빠른 장거리 경로에 너무 작다
DUDP가 혼잡한 경로에서 전송률을 제어할 방법이 필요했다

19.IPv4 서브네팅보통

한 서브넷이 마스크 255.255.248.0을 씁니다. 사용 가능한 호스트 주소 H는 몇 개일까요?

255.255.248.0

H =

20.IPv4 서브네팅어려움

라우터에 다음 네트워크로의 경로가 있습니다: 10.101.161.0/24, 10.101.162.0/24. 이들을 모두 포함하는 단일 요약 경로의 가장 긴 접두사 길이 p는 얼마일까요?

10.101.161.0/24 … 10.101.162.0/24

p =

3용액

1.진법

답: U = 195

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

반전하고 1 더하기

61 = 0011 1101

반전 후: 1100 0010

+1 → 1100 0011

부호 없는 수로 읽기

1100 0011₂ = 256 − 61 = 195

답

U = 195

2.진법

답: M = 3072 KiB

비트와 바이트

1024·768·32 = 25165824 bit = 3145728 B

KiB로 변환

3145728/1024 = 3072 KiB

답

M = 3072 KiB

3.명제논리와 증명

답: p ∧ ¬r

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

법칙

¬(a → b) ≡ ¬(¬a ∨ b) ≡ a ∧ ¬b: 함의가 거짓이 되는 유일한 행입니다.

¬(p → r) ≡ p ∧ ¬r

진리표로 확인

p = 1, r = 1: 0 | 1 0 0 0

p = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 0, r = 1: 0 | 0 1 0 1

p = 0, r = 0: 0 | 1 1 0 1

답

p ∧ ¬r

막대 뒤의 열은 보기를 표시된 순서대로 나타낸 것입니다.

4.명제논리와 증명

답: p = 1, q = 0, r = 1

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

행별 전제와 결론

p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 1 | 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 1 | 0

p = 1, q = 0, r = 0: 0 1 | 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 0 | 1

p = 0, q = 1, r = 0: 1 0 | 1

p = 0, q = 0, r = 1: 1 0 | 0

p = 0, q = 0, r = 0: 1 0 | 0

반례

p = 1, q = 0, r = 1

답

p = 1, q = 0, r = 1

이런 형식의 논증은 타당한 규칙처럼 보이지만, 행 하나만으로 그렇지 않음을 보일 수 있습니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 1

불 대수: 식을 간소화하는 규칙은 X + X′ = 1과 X·X′ = 0, X + X = X, 흡수 법칙 X + X·Y = X, 결합 규칙 X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y, 그리고 합의 정리 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z입니다. 드모르간 법칙은 (X·Y)′를 X′ + Y′로, (X + Y)′를 X′·Y′로 바꿉니다. 카르노 맵은 이 규칙들을 그림으로 적용합니다. 이웃한 두 칸의 그룹은 모두 XY + XY′ = X를 한 번 쓴 것입니다.

식의 최소항

A′B → m(2, 3)

A′C → m(1, 3)

A′B′ → m(0, 1)

묶어서 읽기

F = A′

리터럴 세기

L = 1

답

L = 1

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: Q = 3

플립플롭과 카운터: 플립플롭은 클록의 활성 에지에서만 바뀝니다. D는 입력을 복사합니다(Q⁺ = D). T는 T = 1이면 토글합니다. JK는 00이면 유지, 01이면 리셋, 10이면 셋, 11이면 토글합니다. n비트 이진 카운터는 상태가 2ⁿ개이고 2ⁿ을 법으로 세며, mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가고 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n개의 플립플롭이 필요합니다. 리플 카운터는 단마다 주파수가 절반이 되므로 mod-N 카운터의 마지막 출력은 f_clk/N으로 동작합니다. 플립플롭 n개의 존슨 카운터는 상태가 2n개, 링 카운터는 n개입니다.

완전한 주기

펄스 8개마다 카운터는 같은 상태로 돌아옵니다.

9 = 1·8 + 1

남은 펄스 뒤의 값

Q = (2 + 1) mod 8 = 3

Q = 011₂

답

Q = 3

7.정수론과 모듈러 연산

답: 34⁻¹ mod 37 = 12

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

확장 유클리드 알고리즘

각 나머지 r은 r ≡ t·34 (mod 37)로 쓸 수 있습니다.

r = 37, t = 0

r = 34, q = 1, t = 1

r = 3, q = 11, t = −1

r = 1, q = 3, t = 12

역행렬

1 ≡ 12·34 (mod 37)

x = 12

검산: 34·12 = 408 = 11·37 + 1

답

34⁻¹ mod 37 = 12

8.정수론과 모듈러 연산

답: N = 2

gcd로 나누기

gcd(38, 46) = 2

19x ≡ 2 (mod 23)

줄인 합동식 풀기

19⁻¹ ≡ 17 (mod 23) → x ≡ 11 (mod 23)

46을(를) 법으로 한 해

x ∈ {11, 34}

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

홀수 정점

A, C → 2

오일러 경로, 회로 없음

답

오일러 경로, 회로 없음

오일러 경로는 한 홀수 정점에서 시작해 다른 홀수 정점에서 끝납니다.

14.그래프 이론

답: N = 1

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1

C · 16비트 윈도 필드는 윈도를 65,535바이트로 제한하는데, 이는 빠른 장거리 경로에 너무 작다

19.IPv4 서브네팅

답: H = 2046

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

접두사 길이

255.255.248.0 = /21

사용 가능한 호스트

2¹¹ − 2 = 2046

답

H = 2046

20.IPv4 서브네팅

답: p = 22

경로 요약: 요약 경로 a.b.c.0/p는 처음 p비트가 일치하는 모든 네트워크를 포함합니다. 첫 번째와 마지막 네트워크에서 다른 옥텟을 2진수로 쓰고, 공통 앞쪽 비트 수에 그 앞 옥텟들의 비트를 더하면 가장 긴 요약 접두사가 됩니다.

비트 비교

161 = 10100001

162 = 10100010

공통 앞쪽 비트: 6

접두사 길이

p = 16 + 6 = 22

답

p = /22

요약 경로: 10.101.160.0/22 (목록에 없는 네트워크 2개도 포함합니다).

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