컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 2의 보수로 −76을 저장하도록 비트를 설정하세요. 부호 없는 수로 읽으면 패턴의 값 U은 얼마입니까?

N = −768 bit

U =

2.진법어려움

어떤 시스템이 1565개 항목 각각에 같은 길이의 고유한 2진 코드를 주어야 합니다. 필요한 최소 비트 수 b는 얼마일까요?

1565

b = bit

3.명제논리와 증명보통

((b ∨ c) ∧ ¬b) → c은(는) 항진명제, 모순, 우연명제 중 무엇인가? 답을 클릭하세요.

((b ∨ c) ∧ ¬b) → c

1항진명제
2모순
3우연명제

4.명제논리와 증명어려움

부정을 가장 안쪽까지 옮긴 ¬∀x ∃y R(x, y)와(과) 동치인 문장은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬∀x ∃y R(x, y)

1∀x ∀y ¬R(x, y)
2∀x ∃y ¬R(x, y)
3∃y ∀x ¬R(x, y)
4∃x ∀y ¬R(x, y)

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 15)의 최소 합의 곱(POS) 형태를 구하시오. 합항(인수)은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 15)

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

3비트 이진 업 카운터은(는) 3(십진수, Q = 011)에서 시작한다. 클록 펄스가 12번 들어온 뒤 어떤 값(Q, 십진수)을 나타내는가?

Q₀ = 312n = 3

Q =

7.정수론과 모듈러 연산보통

x ≡ 5 (mod 7)이고 x ≡ 6 (mod 9)인 가장 작은 양의 정수 x을(를) 구하시오.

x ≡ 5 (mod 7)x ≡ 6 (mod 9)

x =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

26x ≡ 10 (mod 42)을(를) 푸시오. 가장 작은 양의 해 x을(를) 구하시오.

26x ≡ 10 (mod 42)

x =

9.알고리즘과 복잡도보통

안정(stable) 정렬 알고리즘은 무엇입니까?

A선택 정렬(일반적인 버전)
B퀵 정렬(일반적인 제자리 버전)
C힙 정렬
D병합 정렬

10.알고리즘과 복잡도어려움

쿡-레빈 정리는 무엇을 확립했습니까?

A정지 문제는 결정 불가능하다
BP는 NP와 같지 않다
C모든 NP 문제는 지수 시간에 풀 수 있다
D불리언 충족 가능성 문제(SAT)는 NP-complete이다

11.자료구조보통

키 50, 30, 70, 20, 40을 이 순서로 빈 이진 탐색 트리에 삽입합니다. 30의 왼쪽 자식은 무엇입니까?

12.자료구조어려움

크러스컬의 최소 신장 트리 알고리즘에서 union-find 구조는 무엇에 사용됩니까?

A간선의 두 끝점이 이미 연결되어 있는지 확인하는 것
B시작 정점을 고르는 것
C탐색 중 각 정점의 출발점으로부터의 현재 거리를 저장하는 것
D간선을 가중치순으로 정렬하는 것

13.그래프 이론보통

완전그래프 K₇의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₇

H =

14.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 3단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 3

15.데이터베이스와 SQL보통

phone이 NULL인 고객에 대해 SELECT COALESCE(phone, 'unknown') FROM customers는 무엇을 반환합니까?

A'unknown'
BNULL
C빈 문자열
D오류

16.데이터베이스와 SQL어려움

x는 NULL이고 y = 1입니다. 조건 (x > 5 OR y = 1)의 값은 무엇입니까?

ATRUE
BUNKNOWN
CNULL이므로 행이 항상 거부된다
DFALSE

17.컴퓨터 네트워크보통

고전적인 공유(반이중) 이더넷은 어떤 매체 접근 방식을 사용했습니까?

A토큰 패싱
BCSMA/CA
CTDMA
DCSMA/CD

18.컴퓨터 네트워크어려움

콘텐츠 전송 네트워크(CDN)는 주로 어떻게 웹 성능을 향상시킵니까?

ADNS 조회를 필요 없게 만든다
B사용자 자신의 가정 연결의 대역폭을 늘린다
CTCP를 더 빠른 전송 프로토콜로 대체한다
D사용자와 가까운 서버에서 캐시된 콘텐츠를 제공한다

19.IPv4 서브네팅보통

어느 부서가 한 서브넷에 호스트 주소 1442개가 필요합니다. 충분한 가장 긴 접두사 길이 p(가장 작은 서브넷)는 얼마일까요?

1442 hosts

p =

20.IPv4 서브네팅어려움

어떤 호스트의 주소가 10.20.252.244/27입니다. 그 서브넷 브로드캐스트 주소의 마지막 숫자(네 번째 옥텟) x는 얼마일까요?

10.20.252.244/27

x =

3용액

1.진법

답: U = 180

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

반전하고 1 더하기

76 = 0100 1100

반전 후: 1011 0011

+1 → 1011 0100

부호 없는 수로 읽기

1011 0100₂ = 256 − 76 = 180

답

U = 180

2.진법

답: b = 11 bit

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

2의 거듭제곱

2¹⁰ = 1024 < 1565

2¹¹ = 2048 ≥ 1565

답

b = 11

3.명제논리와 증명

답: 항진명제

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

행별 진리표

b = 1, c = 1: b ∨ c = 1, ¬b = 0, (b ∨ c) ∧ ¬b = 0, ((b ∨ c) ∧ ¬b) → c = 1

b = 1, c = 0: b ∨ c = 1, ¬b = 0, (b ∨ c) ∧ ¬b = 0, ((b ∨ c) ∧ ¬b) → c = 1

b = 0, c = 1: b ∨ c = 1, ¬b = 1, (b ∨ c) ∧ ¬b = 1, ((b ∨ c) ∧ ¬b) → c = 1

b = 0, c = 0: b ∨ c = 0, ¬b = 1, (b ∨ c) ∧ ¬b = 0, ((b ∨ c) ∧ ¬b) → c = 1

분류

((b ∨ c) ∧ ¬b) → c: 1, 1, 1, 1

모든 행에서 1: 항진명제.

답

항진명제

4.명제논리와 증명

답: ∃x ∀y ¬R(x, y)

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

부정을 안쪽으로 옮기기

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

답

∃x ∀y ¬R(x, y)

다른 보기는 한정자를 그대로 두거나, 한정자의 순서를 바꾸거나, 안쪽 식을 잘못 부정한 것입니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 4

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

0 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

(B′ + C + D′)

(A′ + C′ + D)

(A + B + D)

(A′ + B + D′)

최소 POS 형태

F = (B′ + C + D′)(A′ + C′ + D)(A + B + D)(A′ + B + D′)

N = 4

답

N = 4

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: Q = 7

플립플롭과 카운터: 플립플롭은 클록의 활성 에지에서만 바뀝니다. D는 입력을 복사합니다(Q⁺ = D). T는 T = 1이면 토글합니다. JK는 00이면 유지, 01이면 리셋, 10이면 셋, 11이면 토글합니다. n비트 이진 카운터는 상태가 2ⁿ개이고 2ⁿ을 법으로 세며, mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가고 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n개의 플립플롭이 필요합니다. 리플 카운터는 단마다 주파수가 절반이 되므로 mod-N 카운터의 마지막 출력은 f_clk/N으로 동작합니다. 플립플롭 n개의 존슨 카운터는 상태가 2n개, 링 카운터는 n개입니다.

완전한 주기

펄스 8개마다 카운터는 같은 상태로 돌아옵니다.

12 = 1·8 + 4

남은 펄스 뒤의 값

Q = (3 + 4) mod 8 = 7

Q = 111₂

답

Q = 7

7.정수론과 모듈러 연산

답: x = 33

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

첫 번째 합동식

x = 5 + 7k

두 번째 합동식

5 + 7k ≡ 6 (mod 9) → 7k ≡ 1 (mod 9)

k ≡ 4·1 ≡ 4 (mod 9)

결과

x = 5 + 7·4 = 33

x = 33

검산: 33 mod 7 = 5, 33 mod 9 = 6

답

x = 33

8.정수론과 모듈러 연산

답: x = 2

gcd로 나누기

gcd(26, 42) = 2

13x ≡ 5 (mod 21)

줄인 합동식 풀기

13⁻¹ ≡ 13 (mod 21) → x ≡ 2 (mod 21)

42을(를) 법으로 한 해

x ∈ {2, 23}

세기

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

답

H = 360

14.그래프 이론

답: B

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 5, C: 4

2. C (4): E: 12

3. B (5): D: 15

4. E (12): F: 24

5. D (15)

CDN은 콘텐츠 사본을 많은 엣지 위치에 두고, 흔히 DNS를 통해 사용자를 가까운 서버로 안내합니다. 이렇게 하면 지연 시간과 원본 서버의 부하가 줄어듭니다.

답

D · 사용자와 가까운 서버에서 캐시된 콘텐츠를 제공한다

19.IPv4 서브네팅

답: p = 21

IPv4 서브네팅: 주소는 32비트입니다. 접두사 /p는 앞의 몇 비트가 네트워크를 나타내는지를 말하고, 나머지 32 − p비트로 호스트 번호를 매깁니다. 서브넷에는 주소가 2³²⁻ᵖ개 있지만 첫 주소(네트워크 주소)와 마지막 주소(브로드캐스트 주소)는 호스트에 줄 수 없어 호스트 2³²⁻ᵖ − 2개가 들어갑니다. 예외: /31(점대점 링크, RFC 3021)은 주소 2개를 모두 호스트에 쓰고, /32는 단일 주소(단일 호스트 또는 루프백)입니다.

필요한 호스트 비트

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1442

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1442 → h = 11

접두사 길이

p = 32 − 11 = 21

답

p = /21

20.IPv4 서브네팅

답: x = 255

블록 크기

2⁵ = 32

이 호스트의 서브넷

네트워크: ⌊244/32⌋·32 = 224

브로드캐스트: 224 + 32 − 1 = 255

사용 가능한 호스트: 225 … 254

답

x = 255

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