컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 2의 보수로 −79을 저장하도록 비트를 설정하세요. 부호 없는 수로 읽으면 패턴의 값 U은 얼마입니까?

N = −798 bit

U =

2.진법어려움

1100 1010 AND 1010 0111의 8비트 결과가 되도록 비트를 설정하세요. 결과의 값 R은 십진수로 얼마입니까?

1100 1010AND1010 0111

R =

3.명제논리와 증명보통

(r ∨ q) → ¬p을(를) 귀류법으로 증명하려 한다. 처음에 어떤 문장을 가정해야 하는가? 클릭하세요.

(r ∨ q) → ¬p

1¬(r ∨ q) ∧ ¬¬p
2¬(r ∨ q) → ¬¬p
3(r ∨ q) ∧ ¬¬p
4¬(r ∨ q) ∧ ¬p

4.명제논리와 증명어려움

부정을 가장 안쪽까지 옮긴 ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))와(과) 동치인 문장은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
2∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
4∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C) = Σm(3, 4, 7)의 최소 합의 곱(POS) 형태를 구하시오. 합항(인수)은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C) = Σm(3, 4, 7)

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 7, 8, 14) + d(5, 12)의 최소 SOP 형태를 구하시오. 곱항은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 7, 8, 14) + d(5, 12)

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

x ≡ 4 (mod 5)이고 x ≡ 3 (mod 6)인 가장 작은 양의 정수 x을(를) 구하시오.

x ≡ 4 (mod 5)x ≡ 3 (mod 6)

x =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

반복 제곱법으로 25¹³⁹ mod 47을(를) 구하시오.

a = 25k = 139n = 47

25¹³⁹ mod 47 =

9.알고리즘과 복잡도보통

분할 상환 분석(amortised analysis)은 무엇을 측정합니까?

A최선의 입력에서 알고리즘의 비용
B연산열 전체에서 가장 비싼 단일 연산 하나의 비용
C최악의 연산 순서에 걸친 연산당 평균 비용
D무작위 입력에 대한 기대 비용

10.알고리즘과 복잡도어려움

헬드-카프 동적 계획법 알고리즘은 외판원 문제를 정확히 풉니다. 도시가 n개일 때 실행 시간은 얼마입니까?

AO(n² 2ⁿ)
BO(n³)
CO(n!)
DO(2^n²)

11.자료구조보통

이진 탐색 트리에서 최소 키는 어떻게 찾습니까?

A모든 리프를 방문하여 비교한다
B루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다
C루트에서 오른쪽 자식이 없을 때까지 오른쪽 자식을 따라간다
D루트만 본다

12.자료구조어려움

어떤 객체를 해시 맵의 키로 저장한 뒤, 그 해시 함수가 사용하는 필드를 바꿉니다. 예상되는 결과는 무엇입니까?

A필드가 바뀌는 순간 맵이 오류를 던진다
B객체가 이전 해시의 버킷에 있으므로 조회가 실패할 수 있다
C맵이 자동으로 키를 새 버킷으로 옮긴다
D키의 해시는 프로그램이 시작될 때 한 번만 계산되므로 아무것도 바뀌지 않는다

13.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 19개이고 간선이 30개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 19|E| = 30

k =

14.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F

d(F) =

15.데이터베이스와 SQL보통

테이블의 모든 행을 제거하고 구조는 유지하며 WHERE 절을 사용할 수 없는 문은 무엇입니까?

ATRUNCATE TABLE
BALTER TABLE
CWHERE 절이 있는 DELETE FROM
DDROP TABLE

16.데이터베이스와 SQL어려움

테이블 b의 열 y에는 값 1, 2, NULL이 있습니다. SELECT * FROM a WHERE x NOT IN (SELECT y FROM b)는 무엇을 반환합니까?

A아무 행도 반환하지 않는다
Bx가 1이나 2가 아닌 a의 행
Cx가 NULL인 a의 행만
Da의 모든 행

17.컴퓨터 네트워크보통

짝수 패리티를 사용할 때, 데이터 비트 1011001에 추가되는 패리티 비트는 무엇입니까?

18.컴퓨터 네트워크어려움

TCP/IP 모델에서 포트 번호를 추가하는 계층은 무엇입니까?

A링크 계층
B전송 계층
C인터넷 계층
D응용 계층

19.IPv4 서브네팅보통

네트워크 192.168.10.0/24를 크기가 같은 서브넷 30개 이상으로 나누어야 합니다. 가능한 한 적은 비트를 빌리면 각 서브넷에서 사용 가능한 호스트 H는 몇 개일까요?

192.168.10.0/2430 subnets

H =

20.IPv4 서브네팅어려움

어떤 호스트의 주소가 10.20.31.236/26입니다. 그 서브넷 브로드캐스트 주소의 마지막 숫자(네 번째 옥텟) x는 얼마일까요?

10.20.31.236/26

x =

3용액

1.진법

답: U = 177

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

반전하고 1 더하기

79 = 0100 1111

반전 후: 1011 0000

+1 → 1011 0001

부호 없는 수로 읽기

1011 0001₂ = 256 − 79 = 177

답

U = 177

2.진법

답: R = 130

비트별로

AND는 두 비트가 모두 1인 곳에서만 1입니다.

1100 1010

AND 1010 0111

= 1000 0010

결과의 값

1000 0010₂ = 130

답

R = 130

3.명제논리와 증명

답: (r ∨ q) ∧ ¬¬p

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

함의의 부분

a = r ∨ q, b = ¬p

함의의 부정

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (r ∨ q) ∧ ¬¬p

답

(r ∨ q) ∧ ¬¬p

가정이 모순으로 이어지면 그 함의는 참이어야 합니다.

4.명제논리와 증명

답: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

부정을 안쪽으로 옮기기

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

답

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

다른 보기는 한정자를 그대로 두거나, 한정자의 순서를 바꾸거나, 안쪽 식을 잘못 부정한 것입니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 3

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

0 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

(B + C′)

(B′ + C)

(A + C)

최소 POS 형태

F = (B + C′)(B′ + C)(A + C)

N = 3

답

N = 3

같은 크기의 다른 묶음도 있으며, 항과 리터럴의 수는 같습니다.

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 3

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

C′D′, A′BD, ABD′, A′BC′

최소 덮개

F = C′D′ + A′BD + ABD′

N = 3

답

N = 3

7.정수론과 모듈러 연산

답: x = 9

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

첫 번째 합동식

x = 4 + 5k

두 번째 합동식

4 + 5k ≡ 3 (mod 6) → 5k ≡ 5 (mod 6)

k ≡ 5·5 ≡ 1 (mod 6)

결과

x = 4 + 5·1 = 9

x = 9

검산: 9 mod 5 = 4, 9 mod 6 = 3

답

x = 9

8.정수론과 모듈러 연산

답: 25¹³⁹ mod 47 = 25

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

이진수 지수

139 = 10001011₂ = 128 + 8 + 2 + 1

반복 제곱

25¹ ≡ 25 (mod 47)

25² ≡ 14 (mod 47)

25⁴ ≡ 8 (mod 47)

25⁸ ≡ 17 (mod 47)

25¹⁶ ≡ 7 (mod 47)

B · 객체가 이전 해시의 버킷에 있으므로 조회가 실패할 수 있다

13.그래프 이론

답: k = 12

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

19 − 1 = 18

제거할 간선

k = 30 − 18 = 12

답

k = 12

14.그래프 이론

답: d(F) = 16

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 6, C: 15

B (6): D: 15, E: 19

C (15)

D (15): F: 16

F (16)

E (19)

최단 경로

A → B → D → F

빌릴 비트 수

2⁵ = 32 ≥ 30 → b = 5, /29

서브넷당 호스트 수

2³ − 2 = 6

답

H = 6

20.IPv4 서브네팅

답: x = 255

블록 크기

2⁶ = 64

이 호스트의 서브넷

네트워크: ⌊236/64⌋·64 = 192

브로드캐스트: 192 + 64 − 1 = 255

사용 가능한 호스트: 193 … 254

답

x = 255

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