컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 패턴 0111 1010는 부호 있는 정수를 2의 보수로 저장합니다. 10진수 값 N는 얼마일까요?

0111 10108 bit

N =

2.진법어려움

24비트에 들어가는 가장 큰 부호 없는 정수 N는 얼마일까요?

24 bit

N =

3.명제논리와 증명보통

b → a와(과) 논리적으로 동치인 식은 어느 것인가? 클릭하세요.

b → a

1¬b ∨ a
2a → b
3¬b ∧ a
4b ∨ ¬a

4.명제논리와 증명어려움

부정을 가장 안쪽까지 옮긴 ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))와(과) 동치인 문장은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
2∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
4∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C) = Σm(1, 3, 4, 5, 7)의 최소 곱의 합(SOP) 형태를 구하시오. 전체 리터럴은 몇 개(L)인가(프라임이 붙은 변수도 리터럴 하나로 센다)?

F(A, B, C) = Σm(1, 3, 4, 5, 7)

L =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

3비트 이진 업 카운터은(는) 3(십진수, Q = 011)에서 시작한다. 클록 펄스가 27번 들어온 뒤 어떤 값(Q, 십진수)을 나타내는가?

Q₀ = 327n = 3

Q =

7.정수론과 모듈러 연산보통

오일러 피 함수 φ(17), 곧 1부터 17까지의 정수 중 17와(과) 서로소인 수의 개수를 구하시오.

n = 17 = 17

φ(17) =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

반복 제곱법으로 22⁶⁶ mod 61을(를) 구하시오.

a = 22k = 66n = 61

22⁶⁶ mod 61 =

9.알고리즘과 복잡도보통

분할 상환 분석(amortised analysis)은 무엇을 측정합니까?

A최악의 연산 순서에 걸친 연산당 평균 비용
B연산열 전체에서 가장 비싼 단일 연산 하나의 비용
C무작위 입력에 대한 기대 비용
D최선의 입력에서 알고리즘의 비용

10.알고리즘과 복잡도어려움

P와 NP에 대한 설명 중 옳은 것은 무엇입니까?

AP ≠ NP임이 증명되었다
BP에 속하는 모든 문제는 NP에도 속한다
CNP 문제는 빠르게 검증할 수 없다
DNP는 "not polynomial"을 의미한다

11.자료구조보통

깊이 우선 탐색(반복 버전)에서 사용하는 자료 구조는 무엇입니까?

A스택
B큐
C해시 테이블만
D힙

12.자료구조어려움

이진 탐색 트리에서 자식이 두 개인 노드를 삭제할 때는 보통 어떻게 합니까?

A서브트리 전체를 삭제한다
B루트와 맞바꾼다
C그 아래 서브트리를 처음부터 다시 만들어 그 안에 있던 모든 키를 다시 삽입한다
D중위 후속자(또는 선행자)로 대체한 다음 그 노드를 삭제한다

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 5

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

프림 알고리즘이 정점 B에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 4번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Bk = 4

1간선 AB
2간선 AC
3간선 BC
4간선 BD
5간선 CE
6간선 DE
7간선 BE

15.데이터베이스와 SQL보통

함수 종속성 A → B는 무엇을 의미합니까?

AB의 각 값은 정확히 하나의 A 값과 연결된다
BA는 B를 참조하는 외래 키이다
CA의 각 값은 정확히 하나의 B 값과 연결된다
DA와 B는 모두 기본 키이다

16.데이터베이스와 SQL어려움

더티 리드는 방지하지만 반복 불가능한 읽기(non-repeatable read)는 여전히 허용하는 격리 수준은 무엇입니까?

ARead uncommitted
BSerializable
CRepeatable read
DRead committed

17.컴퓨터 네트워크보통

고전적인 공유(반이중) 이더넷은 어떤 매체 접근 방식을 사용했습니까?

ACSMA/CA
BCSMA/CD
CTDMA
D토큰 패싱

18.컴퓨터 네트워크어려움

충돌이 반복되면 고전적인 이더넷 스테이션은 매번 두 배로 늘어나는 범위에서 대기 시간을 선택합니다. 왜 그렇습니까?

A케이블이 신호를 더 멀리 전달하게 하기 위해
B많은 스테이션이 경쟁할 때 다시 충돌할 가능성을 낮추기 위해
C공유 케이블에서 MAC 주소가 가장 높은 스테이션에 우선권을 주기 위해
D모든 스테이션을 하나의 클록에 동기화하기 위해

19.IPv4 서브네팅보통

어느 부서가 한 서브넷에 호스트 주소 284개가 필요합니다. 충분한 가장 긴 접두사 길이 p(가장 작은 서브넷)는 얼마일까요?

284 hosts

p =

20.IPv4 서브네팅어려움

네트워크 192.168.189.0/24을 다음 LAN들을 위해 VLSM으로 나눕니다: A: 27 호스트, B: 18 호스트, C: 64 호스트, D: 5 호스트. 서브넷은 .0부터 위로, 호스트가 가장 많은 LAN부터, 각각 들어맞는 가장 작은 서브넷으로 할당합니다. LAN B의 네트워크 주소의 네 번째 옥텟 x는 얼마일까요?

A: 27B: 18C: 64D: 5

x =

3용액

1.진법

답: N = 122

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

자리값 더하기

나머지 비트는 원래의 양의 자리값을 유지합니다.

64 + 32 + 16 + 8 + 2 = 122

답

N = 122

2.진법

답: N = 1.678 × 10⁷

최댓값

2²⁴ − 1 = 16777215

답

N = 16777215

3.명제논리와 증명

답: ¬b ∨ a

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

법칙

a → b는 a = 1이고 b = 0일 때만 0이므로 ¬a ∨ b와 같습니다.

b → a ≡ ¬b ∨ a

진리표로 확인

a = 1, b = 1: 1 | 1 1 0 1

a = 1, b = 0: 1 | 1 0 1 0

a = 0, b = 1: 0 | 0 1 0 1

a = 0, b = 0: 1 | 1 1 0 1

답

¬b ∨ a

막대 뒤의 열은 보기를 표시된 순서대로 나타낸 것입니다.

4.명제논리와 증명

답: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

부정을 안쪽으로 옮기기

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

답

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

다른 보기는 한정자를 그대로 두거나, 한정자의 순서를 바꾸거나, 안쪽 식을 잘못 부정한 것입니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 3

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

1 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

AB′

최소 SOP 형태

F = C + AB′

L = 3

답

L = 3

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: Q = 6

플립플롭과 카운터: 플립플롭은 클록의 활성 에지에서만 바뀝니다. D는 입력을 복사합니다(Q⁺ = D). T는 T = 1이면 토글합니다. JK는 00이면 유지, 01이면 리셋, 10이면 셋, 11이면 토글합니다. n비트 이진 카운터는 상태가 2ⁿ개이고 2ⁿ을 법으로 세며, mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가고 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n개의 플립플롭이 필요합니다. 리플 카운터는 단마다 주파수가 절반이 되므로 mod-N 카운터의 마지막 출력은 f_clk/N으로 동작합니다. 플립플롭 n개의 존슨 카운터는 상태가 2n개, 링 카운터는 n개입니다.

완전한 주기

펄스 8개마다 카운터는 같은 상태로 돌아옵니다.

27 = 3·8 + 3

남은 펄스 뒤의 값

Q = (3 + 3) mod 8 = 6

Q = 110₂

답

Q = 6

7.정수론과 모듈러 연산

답: φ(17) = 16

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

소인수

17 = 17

오일러 피 함수 값

φ(17) = 17 − 1 = 16

답

φ(17) = 16

8.정수론과 모듈러 연산

답: 22⁶⁶ mod 61 = 58

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

이진수 지수

66 = 1000010₂ = 64 + 2

반복 제곱

22¹ ≡ 22 (mod 61)

22² ≡ 57 (mod 61)

22⁴ ≡ 16 (mod 61)

22⁸ ≡ 12 (mod 61)

D · 중위 후속자(또는 선행자)로 대체한 다음 그 노드를 삭제한다

13.그래프 이론

답: 오일러 회로

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

홀수 정점

오일러 회로

답

오일러 회로

14.그래프 이론

답: 간선 DE

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. BC (5)

2. CE (2)

3. AC (6)

4. DE (10)