컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 2의 보수로 −39을 저장하도록 비트를 설정하세요. 부호 없는 수로 읽으면 패턴의 값 U은 얼마입니까?

N = −398 bit

U =

2.진법어려움

1011 1110 >> 1의 8비트 결과가 되도록 비트를 설정하세요. 결과의 값 R은 십진수로 얼마입니까?

1011 1110>> 1

R =

3.명제논리와 증명보통

p → (r ∨ q)을(를) 대우법으로 증명하려 한다. 대신 어떤 함의를 증명해야 하는가? 클릭하세요.

p → (r ∨ q)

1p ∧ ¬(r ∨ q)
2(r ∨ q) → p
3¬(r ∨ q) → ¬p
4¬p → ¬(r ∨ q)

4.명제논리와 증명어려움

부정을 가장 안쪽까지 옮긴 ¬∀x F(x)와(과) 동치인 문장은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬∀x F(x)

1∀x F(x)
2∃x ¬F(x)
3∀x ¬F(x)
4∃x F(x)

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

F = A′BC′ + AB + BC + ABC을(를) 최소 곱의 합 형태로 간소화하시오. 간소화한 식에는 리터럴이 몇 개(L) 있는가?

F = A′BC′ + AB + BC + ABC

L =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15) + d(0, 2, 3, 9)의 필수 소 임플리컨트의 개수 N을(를) 구하시오.

F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15) + d(0, 2, 3, 9)

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

오일러 피 함수 φ(153), 곧 1부터 153까지의 정수 중 153와(과) 서로소인 수의 개수를 구하시오.

n = 153 = 3²·17

φ(153) =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

RSA 키가 p = 11, q = 23, e = 23를 쓴다. 암호문 c = 234을(를) 복호화하시오. 메시지 m을(를) 구하시오.

p = 11q = 23e = 23c = 234

m =

9.알고리즘과 복잡도보통

가득 차면 용량을 두 배로 늘리는 동적 배열에 원소를 추가하는 연산의 분할 상환(amortised) 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(1)
BO(n)
CO(n²)
DO(log n)

10.알고리즘과 복잡도어려움

일부 간선 가중치가 음수일 때 다익스트라 알고리즘이 틀린 결과를 줄 수 있는 이유는 무엇입니까?

A무방향 그래프에서만 동작하기 때문에
B정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에
C음수 간선마다 무한 루프에 빠지기 때문에
D우선순위 큐에 음수를 저장할 수 없기 때문에

11.자료구조보통

어떤 애플리케이션은 빠른 조회가 필요하고, 키를 정렬된 순서로 나열하고 범위 질의에도 답해야 합니다. 가장 적합한 구조는 무엇입니까?

A해시 테이블
B정렬되지 않은 연결 리스트
C균형 이진 탐색 트리
D스택

12.자료구조어려움

원소가 n개인 이진 최소 힙에서 임의의 키를 탐색하는 데 얼마나 걸립니까?

AO(n)
BO(1)
CO(log n)
DO(log log n)

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 6

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F

d(F) =

15.데이터베이스와 SQL보통

데이터베이스 트리거란 무엇입니까?

A테이블에 INSERT, UPDATE, DELETE 같은 지정된 이벤트가 발생할 때 자동으로 실행되는 코드
B사용자가 직접 실행하는 쿼리
C데이터베이스의 예약된 백업
D검색 속도를 높이는 인덱스의 한 종류

16.데이터베이스와 SQL어려움

(last_name, first_name)에 복합 인덱스가 있습니다. 어떤 조건이 이를 가장 효과적으로 사용할 수 있습니까?

AWHERE UPPER(first_name) = 'EVA'
BWHERE first_name = 'Eva'
CWHERE first_name LIKE '%a'
DWHERE last_name = 'Jansen'

17.컴퓨터 네트워크보통

신호가 광섬유를 통해 약 2 × 10⁸ m/s로 2000 km를 이동합니다. 전파 지연은 얼마입니까?

A1 ms
B100 ms
C0.1 ms
D10 ms

18.컴퓨터 네트워크어려움

DNS 질의는 보통 UDP를 사용합니다. DNS는 일반적으로 언제 대신 TCP를 사용합니까?

A웹 브라우저가 보내는 모든 질의에
B도메인 이름이 열 글자보다 길 때만
CIP 주소의 역방향 조회에만
DUDP로 보내기에 너무 큰 응답과 영역 전송(zone transfer)에

19.IPv4 서브네팅보통

네트워크 192.168.10.0/24를 크기가 같은 서브넷 6개 이상으로 나누어야 합니다. 가능한 한 적은 비트를 빌리면 각 서브넷에서 사용 가능한 호스트 H는 몇 개일까요?

192.168.10.0/246 subnets

H =

20.IPv4 서브네팅어려움

어떤 호스트의 주소가 10.20.147.185/29입니다. 그 서브넷에서 마지막으로 사용 가능한 호스트 주소의 네 번째 옥텟 x는 얼마일까요?

10.20.147.185/29

x =

3용액

1.진법

답: U = 217

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

반전하고 1 더하기

39 = 0010 0111

반전 후: 1101 1000

+1 → 1101 1001

부호 없는 수로 읽기

1101 1001₂ = 256 − 39 = 217

답

U = 217

2.진법

답: R = 95

비트별로

1만큼 오른쪽으로 시프트하면 모든 비트가 1칸 오른쪽으로 이동합니다. 오른쪽 끝에서 밀려난 비트는 사라지고 왼쪽에 0이 들어옵니다.

1011 1110 >> 1

= 0101 1111

결과의 값

0101 1111₂ = 95

답

R = 95

3.명제논리와 증명

답: ¬(r ∨ q) → ¬p

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

함의의 부분

a = p, b = r ∨ q

대우

¬b → ¬a = ¬(r ∨ q) → ¬p

답

¬(r ∨ q) → ¬p

대우는 원래 문장과 동치이므로 대우를 증명하면 원래 문장이 증명됩니다.

4.명제논리와 증명

답: ∃x ¬F(x)

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

부정을 안쪽으로 옮기기

¬∀x F(x) ≡ ∃x ¬F(x)

답

∃x ¬F(x)

다른 보기는 한정자를 그대로 두거나, 한정자의 순서를 바꾸거나, 안쪽 식을 잘못 부정한 것입니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 1

불 대수: 식을 간소화하는 규칙은 X + X′ = 1과 X·X′ = 0, X + X = X, 흡수 법칙 X + X·Y = X, 결합 규칙 X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y, 그리고 합의 정리 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z입니다. 드모르간 법칙은 (X·Y)′를 X′ + Y′로, (X + Y)′를 X′·Y′로 바꿉니다. 카르노 맵은 이 규칙들을 그림으로 적용합니다. 이웃한 두 칸의 그룹은 모두 XY + XY′ = X를 한 번 쓴 것입니다.

식의 최소항

A′BC′ → m(2)

AB → m(6, 7)

BC → m(3, 7)

ABC → m(7)

묶어서 읽기

F = B

리터럴 세기

L = 1

답

L = 1

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 2

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

D, C, B, A′

필수 소 임플리컨트

C, B

N = 2

답

N = 2

7.정수론과 모듈러 연산

답: φ(153) = 96

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

소인수

153 = 3²·17

오일러 피 함수 값

φ(153) = φ(17)·φ(9) = 16·6 = 96

답

φ(153) = 96

8.정수론과 모듈러 연산

답: m = 119

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

개인 지수

n = 253, φ(n) = 220

d = 23⁻¹ mod 220 = 67

반복 제곱법으로 복호화하기

67 = 64 + 2 + 1

234¹ ≡ 234 (mod 253)

234² ≡ 108 (mod 253)

234⁴ ≡ 26 (mod 253)

234⁸ ≡ 170 (mod 253)

234¹⁶ ≡ 58 (mod 253)

234³² ≡ 75 (mod 253)

234⁶⁴ ≡ 59 (mod 253)

234⁶⁷ ≡ 234·108·59 ≡ 119 (mod 253)

메시지

m = 119

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

홀수 정점

A, B, C, E → 4

둘 다 아님

답

둘 다 아님

14.그래프 이론

답: d(F) = 23

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 3, C: 6

B (3): D: 15, E: 17

C (6)

D (15): F: 29

E (17): F: 23

F (23)

최단 경로

A → B → E → F

빌릴 비트 수

2³ = 8 ≥ 6 → b = 3, /27

서브넷당 호스트 수

2⁵ − 2 = 30

답

H = 30

20.IPv4 서브네팅

답: x = 190

블록 크기

2³ = 8

이 호스트의 서브넷

네트워크: ⌊185/8⌋·8 = 184

브로드캐스트: 184 + 8 − 1 = 191

사용 가능한 호스트: 185 … 190

답

x = 190

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