컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

−80를 8비트 2의 보수 패턴으로 쓰세요. 그 패턴을 부호 없는 2진수로 읽으면 10진수 값 U는 얼마일까요?

N = −808 bit

U =

2.진법어려움

0100 1110 >> 3의 8비트 결과가 되도록 비트를 설정하세요. 결과의 값 R은 십진수로 얼마입니까?

0100 1110>> 3

R =

3.명제논리와 증명보통

(r ∨ q) → ¬p을(를) 대우법으로 증명하려 한다. 대신 어떤 함의를 증명해야 하는가? 클릭하세요.

(r ∨ q) → ¬p

1¬(r ∨ q) → ¬¬p
2(r ∨ q) ∧ ¬¬p
3¬p → (r ∨ q)
4¬¬p → ¬(r ∨ q)

4.명제논리와 증명어려움

부정을 가장 안쪽까지 옮긴 ¬∃x (A(x) → B(x))와(과) 동치인 문장은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬∃x (A(x) → B(x))

1∀x (A(x) → ¬B(x))
2∀x (¬A(x) → ¬B(x))
3∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
4∃x (A(x) ∧ ¬B(x))

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

4-대-1 멀티플렉서의 선택 입력은 S₁ = A, S₀ = B이고 데이터 입력은 I₀ = C′, I₁ = C′, I₂ = C, I₃ = 0에 연결되어 있다. A, B, C의 8가지 조합 중 몇 개에서 출력 F = 1인가? N을(를) 구하시오.

I₀ = C′I₁ = C′I₂ = CI₃ = 0

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

동기식 mod-12 카운터은(는) 0, 1, …, 11을(를) 센 다음 0으로 돌아간다. 8에서 시작한다. 클록 펄스가 20번 들어온 뒤 어떤 값(Q, 십진수)을 나타내는가?

Q₀ = 820N = 12

Q =

7.정수론과 모듈러 연산보통

89을(를) 법으로 하는 63의 역원, 곧 0 < x < 89이고 63·x ≡ 1 (mod 89)인 수 x을(를) 구하시오.

a = 63n = 89

63⁻¹ mod 89 =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

반복 제곱법으로 39¹⁵⁰ mod 79을(를) 구하시오.

a = 39k = 150n = 79

39¹⁵⁰ mod 79 =

9.알고리즘과 복잡도보통

for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2) — 이 코드의 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(n²)
BO(log n)
CO(n)
DO(n log n)

10.알고리즘과 복잡도어려움

결정 불가능한 문제와 다루기 어려운 문제의 차이는 무엇입니까?

A결정 불가능한 문제는 모든 입력에 대한 알고리즘이 없고, 다루기 어려운 문제는 알고리즘이 있지만 너무 느리다
B결정 불가능한 문제는 NP에, 다루기 어려운 문제는 P에 속한다
C둘 다 그 문제에 알고리즘이 전혀 없다는 뜻이다
D다루기 어려운 문제는 어떤 알고리즘으로도 풀 수 없고, 결정 불가능한 문제는 지수 시간만 있으면 된다

11.자료구조보통

이진 힙에 새 원소는 어떻게 삽입됩니까?

A배열의 끝에 놓고 힙 성질을 위반하는 동안 위로 올린다(sift up)
B루트에 놓고 아래로 내린다(sift down)
C더 큰 원소들을 모두 오른쪽으로 한 칸씩 밀어 정렬된 위치에 삽입한다
D힙 전체를 처음부터 다시 만든다

12.자료구조어려움

n개의 수로 된 배열에 대한 펜윅 트리(Fenwick tree, 이진 인덱스 트리)는 어떤 연산을 O(log n)에 지원합니까?

AO(1)에 중앙값 찾기
B임의 위치에 원소 삽입
C배열 정렬과 이진 탐색
D접두사 합 질의와 단일 원소 갱신

13.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 14개이고 간선이 17개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 14|E| = 17

k =

14.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 5단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 5

15.데이터베이스와 SQL보통

커밋된 변경이 시스템 충돌 후에도 살아남도록 보장하는 ACID 속성은 무엇입니까?

A원자성
B지속성
C고립성
D일관성

16.데이터베이스와 SQL어려움

쿼리에 대한 커버링 인덱스란 무엇입니까?

A기본 키에만 있는 인덱스
B매일 밤 다시 만들어지는 인덱스
C쿼리에 필요한 모든 열을 포함하여 테이블 자체를 읽을 필요가 없게 하는 인덱스
D모든 테이블의 모든 열을 포함하는 인덱스

17.컴퓨터 네트워크보통

/20에 해당하는 서브넷 마스크는 무엇입니까?

A255.255.240.0
B255.255.224.0
C255.255.255.240
D255.255.248.0

18.컴퓨터 네트워크어려움

이중화된 스위치 링크가 있는 네트워크에서 브로드캐스트 루프를 방지하는 메커니즘은 무엇입니까?

ANAT
BDHCP 스누핑
CARP 캐싱
D스패닝 트리 프로토콜(Spanning Tree Protocol)

19.IPv4 서브네팅보통

네트워크 192.168.130.0/24을 /26 서브넷으로 나누고, 가장 낮은 주소부터 1, 2, 3, …으로 번호를 매깁니다(서브넷 1은 .0에서 시작). 서브넷 3의 네트워크 주소의 네 번째 옥텟 x는 얼마일까요?

192.168.130.0/24/26서브넷 3 (서브넷 1은 .0에서 시작)

x =

20.IPv4 서브네팅어려움

네트워크 192.168.90.0/24을 다음 LAN들을 위해 VLSM으로 나눕니다: A: 5 호스트, B: 48 호스트, C: 90 호스트, D: 13 호스트. 서브넷은 .0부터 위로, 호스트가 가장 많은 LAN부터, 각각 들어맞는 가장 작은 서브넷으로 할당합니다. LAN A의 네트워크 주소의 네 번째 옥텟 x는 얼마일까요?

A: 5B: 48C: 90D: 13

x =

3용액

1.진법

답: U = 176

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

반전하고 1 더하기

80 = 0101 0000

반전 후: 1010 1111

+1 → 1011 0000

부호 없는 수로 읽기

1011 0000₂ = 256 − 80 = 176

답

U = 176

2.진법

답: R = 9

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

비트별로

3만큼 오른쪽으로 시프트하면 모든 비트가 3칸 오른쪽으로 이동합니다. 오른쪽 끝에서 밀려난 비트는 사라지고 왼쪽에 0이 들어옵니다.

0100 1110 >> 3

= 0000 1001

결과의 값

0000 1001₂ = 9

답

R = 9

3.명제논리와 증명

답: ¬¬p → ¬(r ∨ q)

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

함의의 부분

a = r ∨ q, b = ¬p

대우

¬b → ¬a = ¬¬p → ¬(r ∨ q)

답

¬¬p → ¬(r ∨ q)

대우는 원래 문장과 동치이므로 대우를 증명하면 원래 문장이 증명됩니다.

4.명제논리와 증명

답: ∀x (A(x) ∧ ¬B(x))

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

부정을 안쪽으로 옮기기

¬∃x (A(x) → B(x)) ≡ ∀x (A(x) ∧ ¬B(x))

답

∀x (A(x) ∧ ¬B(x))

다른 보기는 한정자를 그대로 두거나, 한정자의 순서를 바꾸거나, 안쪽 식을 잘못 부정한 것입니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 3

멀티플렉서: 2ⁿ-대-1 멀티플렉서는 데이터 입력 중 하나를 출력으로 보내며, 선택선을 이진수로 읽어 어느 것인지 정합니다. 선택선 S₁S₀ = AB인 4-대-1 MUX에서는 F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃입니다. 데이터 입력을 0, 1, C, C′에 연결하면 MUX가 A, B, C의 어떤 함수든 만들 수 있으며, 이는 칩 하나로 논리를 구현하는 흔한 방법입니다.

출력식

F = A′B′C′ + A′BC′ + AB′C

F = 1인 행

ABC = 000, 010, 101

N = 3

답

N = 3

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: Q = 4

플립플롭과 카운터: 플립플롭은 클록의 활성 에지에서만 바뀝니다. D는 입력을 복사합니다(Q⁺ = D). T는 T = 1이면 토글합니다. JK는 00이면 유지, 01이면 리셋, 10이면 셋, 11이면 토글합니다. n비트 이진 카운터는 상태가 2ⁿ개이고 2ⁿ을 법으로 세며, mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가고 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n개의 플립플롭이 필요합니다. 리플 카운터는 단마다 주파수가 절반이 되므로 mod-N 카운터의 마지막 출력은 f_clk/N으로 동작합니다. 플립플롭 n개의 존슨 카운터는 상태가 2n개, 링 카운터는 n개입니다.

완전한 주기

펄스 12개마다 카운터는 같은 상태로 돌아옵니다.

20 = 1·12 + 8

남은 펄스 뒤의 값

Q = (8 + 8) mod 12 = 4

Q = 0100₂

답

Q = 4

7.정수론과 모듈러 연산

답: 63⁻¹ mod 89 = 65

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

확장 유클리드 알고리즘

각 나머지 r은 r ≡ t·63 (mod 89)로 쓸 수 있습니다.

r = 89, t = 0

r = 63, q = 1, t = 1

r = 26, q = 2, t = −1

r = 11, q = 2, t = 3

r = 4, q = 2, t = −7

r = 3, q = 1, t = 17

r = 1, q = 3, t = −24

역행렬

1 ≡ −24·63 (mod 89)

x = 65

검산: 63·65 = 4095 = 46·89 + 1

답

63⁻¹ mod 89 = 65

8.정수론과 모듈러 연산

답: 39¹⁵⁰ mod 79 = 64

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

이진수 지수

150 = 10010110₂ = 128 + 16 + 4 + 2

반복 제곱

39¹ ≡ 39 (mod 79)

39² ≡ 20 (mod 79)

39⁴ ≡ 5 (mod 79)

39⁸ ≡ 25 (mod 79)

39¹⁶ ≡ 72 (mod 79)

D · 접두사 합 질의와 단일 원소 갱신

13.그래프 이론

답: k = 4

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

14 − 1 = 13

제거할 간선

k = 17 − 13 = 4

답

k = 4

14.그래프 이론

답: D

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 3, C: 10

2. B (3): D: 15, E: 12

3. C (10)

4. E (12)

5. D (15): F: 28