컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 패턴 1110 0000는 부호 있는 정수를 2의 보수로 저장합니다. 10진수 값 N는 얼마일까요?

1110 00008 bit

N =

2.진법어려움

압축하지 않은 이미지가 256 × 256 픽셀이고 픽셀당 32비트입니다. 메모리 M를 몇 KiB(1 KiB = 1024바이트) 차지할까요?

256 × 256 px32 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.명제논리와 증명보통

b ↔ ¬b은(는) 항진명제, 모순, 우연명제 중 무엇인가? 답을 클릭하세요.

b ↔ ¬b

1항진명제
2모순
3우연명제

4.명제논리와 증명어려움

진리표의 16개 행 중 몇 개에서 (s ↔ q) → ((r → p) ∨ (p ∧ r))이(가) 참인가? 이 수를 N(이)라 하자.

(s ↔ q) → ((r → p) ∨ (p ∧ r))

N =

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 13, 15)의 최소 합의 곱(POS) 형태를 구하시오. 합항(인수)은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 13, 15)

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 7, 11, 15) + d(5, 9, 13)의 필수 소 임플리컨트의 개수 N을(를) 구하시오.

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 7, 11, 15) + d(5, 9, 13)

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

43을(를) 법으로 하는 23의 역원, 곧 0 < x < 43이고 23·x ≡ 1 (mod 43)인 수 x을(를) 구하시오.

a = 23n = 43

23⁻¹ mod 43 =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

RSA 키가 소수 p = 13, q = 41과 공개 지수 e = 13를 쓴다. 개인 지수 d(0 < d < φ(n))을(를) 구하시오.

p = 13q = 41e = 13

d =

9.알고리즘과 복잡도보통

원소가 1,000,000개인 정렬된 배열에서 이진 탐색은 최악의 경우 대략 몇 번 비교합니까?

A약 20
B약 100
C약 500,000
D약 1,000

10.알고리즘과 복잡도어려움

2²ⁿ은 O(2ⁿ)에 속합니까?

A예, 지수의 상수 계수는 Big O에서 항상 무시되기 때문에
B예, 둘 다 지수이기 때문에
C아니요, 2²ⁿ이 2ⁿ보다 느리게 증가하기 때문에
D아니요, 2²ⁿ = 4ⁿ이고 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ은 한없이 커지기 때문에

11.자료구조보통

적재율이 임계값을 넘은 뒤 해시 테이블이 재해싱(rehash)하면 무슨 일이 일어납니까?

A더 큰 테이블을 할당하고 모든 키를 다시 삽입한다
B기존 키를 제자리에서 정렬한다
C자리를 만들기 위해 가장 오래된 키를 삭제한다
D충돌한 키만 테이블 끝의 새 오버플로 리스트로 옮긴다

12.자료구조어려움

O(1)의 추가 메모리로 단일 연결 리스트에 사이클이 있는지 어떻게 탐지할 수 있습니까?

A개수가 리스트 길이 필드를 넘을 때까지 노드를 센다
B포인터 하나는 한 칸씩, 다른 하나는 두 칸씩 움직여 만나는지 확인한다
C방문한 모든 노드를 해시 집합에 저장한다
D리스트를 정렬하고 중복을 찾는다

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 6

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 6단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 6

15.데이터베이스와 SQL보통

제2정규형(2NF)이 제거하는 것은 무엇입니까?

A모든 NULL 값
B복합 키의 일부에 대한 비키 열의 부분 종속
C외래 키
D다른 비키 열을 거치는 비키 열 사이의 이행적 종속

16.데이터베이스와 SQL어려움

동시 트랜잭션의 스케줄은 언제 직렬 가능(serializable)하다고 합니까?

A그 효과가 같은 트랜잭션들의 어떤 직렬 실행과 동등할 때
B모든 트랜잭션에 일련번호가 부여될 때
C트랜잭션들이 하나의 CPU에서만 실행될 때
D어떤 트랜잭션도 데이터를 읽지 않을 때

17.컴퓨터 네트워크보통

TLS는 HTTPS에 어떤 보안 속성을 제공합니까?

A방문한 사이트의 모든 악성코드와 피싱으로부터의 보호
B사용자의 익명성
C더 빠른 로딩만
D기밀성, 무결성, 서버 인증

18.컴퓨터 네트워크어려움

TCP 혼잡 제어의 "슬로 스타트"(slow start) 단계에 대한 설명으로 옳은 것은 무엇입니까?

A윈도우를 한 세그먼트로 고정한다
B패킷 손실이 감지될 때까지 왕복할 때마다 혼잡 윈도우를 절반으로 줄인다
CUDP에서만 사용된다
D임계값에 도달하거나 손실이 발생할 때까지 혼잡 윈도우를 지수적으로 늘린다

19.IPv4 서브네팅보통

한 서브넷이 마스크 255.255.248.0을 씁니다. 사용 가능한 호스트 주소 H는 몇 개일까요?

255.255.248.0

H =

20.IPv4 서브네팅어려움

네트워크 192.168.187.0/24을 다음 LAN들을 위해 VLSM으로 나눕니다: A: 5 호스트, B: 6 호스트, C: 26 호스트, D: 18 호스트, E: 10 호스트. 서브넷은 .0부터 위로, 호스트가 가장 많은 LAN부터, 각각 들어맞는 가장 작은 서브넷으로 할당합니다. LAN D의 네트워크 주소의 네 번째 옥텟 x는 얼마일까요?

A: 5B: 6C: 26D: 18E: 10

x =

3용액

1.진법

답: N = −32

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

자리값 더하기

나머지 비트는 원래의 양의 자리값을 유지합니다.

−128 + 64 + 32 = −32

답

N = −32

2.진법

답: M = 256 KiB

비트와 바이트

256·256·32 = 2097152 bit = 262144 B

KiB로 변환

262144/1024 = 256 KiB

답

M = 256 KiB

3.명제논리와 증명

답: 모순

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

행별 진리표

b = 1: ¬b = 0, b ↔ ¬b = 0

b = 0: ¬b = 1, b ↔ ¬b = 0

분류

b ↔ ¬b: 0, 0

모든 행에서 0: 모순.

답

모순

4.명제논리와 증명

답: N = 14

진리표: 서로 다른 변수가 n개인 식은 참값(1 = 참, 0 = 거짓)의 모든 조합마다 하나씩 2ⁿ개의 행을 가집니다. 안쪽부터 바깥쪽으로 작업하고 모든 부분식에 각각 열을 주세요. ¬a는 값을 뒤집습니다. a ∧ b는 둘 다 1일 때만 1입니다. a ∨ b는 둘 다 0일 때만 0입니다. a → b는 a = 1이고 b = 0일 때만 0입니다. a ↔ b는 양쪽이 같을 때 1입니다.

열

s ↔ q; r → p; p ∧ r; (r → p) ∨ (p ∧ r); (s ↔ q) → ((r → p) ∨ (p ∧ r))

p을(를) 기준으로 나누기

p = 1: 8

p = 0: 6

N = 8 + 6 = 14

답

N = 14

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 5

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

0 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

(B′ + C′ + D)

(A′ + B′ + D)

(A′ + B + C′)

(A + B + C + D)

(A + B′ + C + D′)

최소 POS 형태

F = (B′ + C′ + D)(A′ + B′ + D)(A′ + B + C′)(A + B + C + D)(A + B′ + C + D′)

N = 5

답

N = 5

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 1

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

필수 소 임플리컨트

N = 1

답

N = 1

7.정수론과 모듈러 연산

답: 23⁻¹ mod 43 = 15

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

확장 유클리드 알고리즘

각 나머지 r은 r ≡ t·23 (mod 43)로 쓸 수 있습니다.

r = 43, t = 0

r = 23, q = 1, t = 1

r = 20, q = 1, t = −1

r = 3, q = 6, t = 2

r = 2, q = 1, t = −13

r = 1, q = 2, t = 15

역행렬

1 ≡ 15·23 (mod 43)

x = 15

검산: 23·15 = 345 = 8·43 + 1

답

23⁻¹ mod 43 = 15

8.정수론과 모듈러 연산

답: d = 37

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

법과 오일러 피 함수 값

n = 13·41 = 533

φ(n) = 12·40 = 480

확장 유클리드 알고리즘

r = 480, t = 0

r = 13, q = 36, t = 1

r = 12, q = 1, t = −36

r = 1, q = 12, t = 37

개인 지수

d = 37

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

홀수 정점

오일러 회로

답

오일러 회로

14.그래프 이론

답: D

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 14, C: 10

2. C (10): B: 13, E: 24

3. B (13): D: 27, G: 17

4. G (17)

5. E (24): F: 39

6. D (27)

슬로 스타트는 혼잡 윈도우를 지수적으로 늘립니다. 임계값 이후에는 혼잡 회피가 윈도우를 선형적으로 늘리고, 손실이 발생하면 윈도우가 줄어듭니다.

답

D · 임계값에 도달하거나 손실이 발생할 때까지 혼잡 윈도우를 지수적으로 늘린다

19.IPv4 서브네팅

답: H = 2046

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

접두사 길이

255.255.248.0 = /21

사용 가능한 호스트

2¹¹ − 2 = 2046

답

H = 2046

20.IPv4 서브네팅

답: x = 32

VLSM: 각 LAN은 2ʰ − 2 ≥ 호스트 수인 가장 작은 서브넷, 즉 접두사 32 − h를 받습니다. 가장 큰 서브넷부터 할당하면 모든 블록이 자기 크기의 배수에 정렬되므로, 네트워크 주소는 블록 크기를 더해 나가면 나옵니다.

LAN별 블록 크기

C: 26 호스트 → 2⁵ = 32 (/27)

D: 18 호스트 → 2⁵ = 32 (/27)

E: 10 호스트 → 2⁴ = 16 (/28)

B: 6 호스트 → 2³ = 8 (/29)

A: 5 호스트 → 2³ = 8 (/29)

큰 것부터 할당

C: .0 – .31

D: .32 – .63

E: .64 – .79

B: .80 – .87

A: .88 – .95

답

x = 32

LAN D: 192.168.187.32/27.

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