컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 2의 보수로 −100을 저장하도록 비트를 설정하세요. 부호 없는 수로 읽으면 패턴의 값 U은 얼마입니까?

N = −1008 bit

U =

2.진법어려움

0010 1001 << 2의 8비트 결과가 되도록 비트를 설정하세요. 결과의 값 R은 십진수로 얼마입니까?

0010 1001<< 2

R =

3.명제논리와 증명보통

a ∨ (c ∧ b)와(과) 논리적으로 동치인 식은 어느 것인가? 클릭하세요.

a ∨ (c ∧ b)

1(a ∨ c) ∧ b
2(a ∨ c) ∧ (a ∨ b)
3a ∧ (c ∨ b)
4(a ∧ c) ∨ (a ∧ b)

4.명제논리와 증명어려움

부정을 가장 안쪽까지 옮긴 ¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y))와(과) 동치인 문장은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y))

1∀x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
2∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3∃x (¬P(x) ∧ ∃y R(x, y))
4∃x (P(x) → ∀y ¬R(x, y))

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C) = Σm(2, 3, 6)의 최소 합의 곱(POS) 형태를 구하시오. 합항(인수)은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C) = Σm(2, 3, 6)

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

상승 에지 트리거 JK 플립플롭이 Q = 0에서 시작하여 그림의 입력을 상승 클록 에지 8번에 걸쳐 받는다. Q의 상태는 몇 번(N) 바뀌는가?

Q₀ = 0JK

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

23을(를) 법으로 하는 20의 역원, 곧 0 < x < 23이고 20·x ≡ 1 (mod 23)인 수 x을(를) 구하시오.

a = 20n = 23

20⁻¹ mod 23 =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

메시지 m = 234을(를) RSA 공개 키 (n, e) = (893, 17)로 암호화하시오. 암호문 c을(를) 구하시오.

n = 893e = 17m = 234

c =

9.알고리즘과 복잡도보통

도달 가능한 기저 사례가 없는 재귀 함수에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

A컴파일러가 항상 안전하게 끝나는 루프로 바꾼다
B호출 스택이 넘칠 때까지 계속 자신을 호출한다
CO(1) 시간에 실행된다
D자동으로 0을 반환한다

10.알고리즘과 복잡도어려움

극대 매칭의 모든 간선의 양 끝점을 취하면 정점 덮개가 됩니다. 이 덮개는 얼마나 좋습니까?

A최적과 비교한 품질을 알 수 없음
B최솟값의 최대 log n배
C최소 정점 덮개 크기의 최대 두 배
D항상 최소 정점 덮개

11.자료구조보통

원소가 n개인 배열의 중간에 원소를 삽입하는 비용은 얼마입니까?

A각 원소가 n번 이동하므로 O(n²)
B인덱스를 알고 있으므로 O(1)
C뒤의 원소들을 이동시켜야 하므로 O(n)
D이진 탐색 때문에 O(log n)

12.자료구조어려움

이중 해싱은 주로 선형 탐사의 어떤 문제를 줄입니까?

A해시 함수가 필요하다는 것
B차 있는 칸들이 길게 이어지는 1차 군집(primary clustering)
C키의 값을 읽는 O(n) 비용
D키를 테이블에 저장해야 한다는 것

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 7|E| = 11

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F

d(F) =

15.데이터베이스와 SQL보통

HAVING에 대한 설명으로 옳은 것은 무엇입니까?

AGROUP BY와 함께 사용할 수 없다
B결과를 정렬한다
CSELECT 문에서 WHERE보다 앞에 와야 한다
D집계 함수를 사용하여 그룹을 필터링할 수 있다

16.데이터베이스와 SQL어려움

트랜잭션 T1은 행 A를 잠그고 행 B를 기다리며, T2는 행 B를 잠그고 행 A를 기다립니다. 일반적인 DBMS는 어떻게 합니까?

A두 트랜잭션을 동시에 커밋한다
B두 트랜잭션을 하나로 합친다
C교착 상태를 감지하고 한 트랜잭션을 희생자로 중단시킨다
D둘 중 하나가 정상적으로 커밋될 때까지 두 트랜잭션이 모두 기다리게 둔다

17.컴퓨터 네트워크보통

호스트 이름을 IPv6 주소에 매핑하는 DNS 레코드 유형은 무엇입니까?

ACNAME
BAAAA
CA
DMX

18.컴퓨터 네트워크어려움

한 사용자가 8.8.8.8로 ping은 되지만 이름으로는 어떤 웹사이트도 열 수 없습니다. 문제는 어디에 있을 가능성이 가장 높습니까?

A이름 해석(DNS)
B네트워크 카드 드라이버
C물리적 케이블
D기본 게이트웨이

19.IPv4 서브네팅보통

어느 부서가 한 서브넷에 호스트 주소 415개가 필요합니다. 충분한 가장 긴 접두사 길이 p(가장 작은 서브넷)는 얼마일까요?

415 hosts

p =

20.IPv4 서브네팅어려움

어떤 호스트의 주소가 10.20.24.37/27입니다. 그 서브넷 브로드캐스트 주소의 마지막 숫자(네 번째 옥텟) x는 얼마일까요?

10.20.24.37/27

x =

3용액

1.진법

답: U = 156

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

반전하고 1 더하기

100 = 0110 0100

반전 후: 1001 1011

+1 → 1001 1100

부호 없는 수로 읽기

1001 1100₂ = 256 − 100 = 156

답

U = 156

2.진법

답: R = 164

비트별로

2만큼 왼쪽으로 시프트하면 모든 비트가 2칸 왼쪽으로 이동합니다. 왼쪽 끝에서 밀려난 비트는 사라지고 오른쪽에 0이 들어옵니다.

0010 1001 << 2

= 1010 0100

결과의 값

1010 0100₂ = 164

답

R = 164

3.명제논리와 증명

답: (a ∨ c) ∧ (a ∨ b)

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

법칙

∨는 ∧에 대해 분배됩니다: a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

a ∨ (c ∧ b) ≡ (a ∨ c) ∧ (a ∨ b)

진리표로 확인

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 0 1 1 1

a = 1, b = 0, c = 0: 1 | 0 1 0 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 0 0

a = 0, b = 1, c = 0: 0 | 0 0 0 0

a = 0, b = 0, c = 1: 0 | 0 0 0 0

a = 0, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 0

답

(a ∨ c) ∧ (a ∨ b)

막대 뒤의 열은 보기를 표시된 순서대로 나타낸 것입니다.

4.명제논리와 증명

답: ∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

부정을 안쪽으로 옮기기

¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

답

∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

다른 보기는 한정자를 그대로 두거나, 한정자의 순서를 바꾸거나, 안쪽 식을 잘못 부정한 것입니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 2

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

0 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

(A′ + C′)

최소 POS 형태

F = B(A′ + C′)

N = 2

답

N = 2

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 6

플립플롭과 카운터: 플립플롭은 클록의 활성 에지에서만 바뀝니다. D는 입력을 복사합니다(Q⁺ = D). T는 T = 1이면 토글합니다. JK는 00이면 유지, 01이면 리셋, 10이면 셋, 11이면 토글합니다. n비트 이진 카운터는 상태가 2ⁿ개이고 2ⁿ을 법으로 세며, mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가고 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n개의 플립플롭이 필요합니다. 리플 카운터는 단마다 주파수가 절반이 되므로 mod-N 카운터의 마지막 출력은 f_clk/N으로 동작합니다. 플립플롭 n개의 존슨 카운터는 상태가 2n개, 링 카운터는 n개입니다.

에지마다의 Q

JK 플립플롭: 00은 유지, 01은 리셋(Q = 0), 10은 셋(Q = 1), 11은 토글.

1: J = 1, K = 1 → Q = 1

2: J = 0, K = 1 → Q = 0

3: J = 1, K = 0 → Q = 1

4: J = 0, K = 1 → Q = 0

5: J = 0, K = 1 → Q = 0

6: J = 1, K = 0 → Q = 1

7: J = 1, K = 1 → Q = 0

8: J = 0, K = 1 → Q = 0

변화 세기

0 → 1 → 0 → 1 → 0 → 0 → 1 → 0 → 0

N = 6

답

N = 6

7.정수론과 모듈러 연산

답: 20⁻¹ mod 23 = 15

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

확장 유클리드 알고리즘

각 나머지 r은 r ≡ t·20 (mod 23)로 쓸 수 있습니다.

r = 23, t = 0

r = 20, q = 1, t = 1

r = 3, q = 6, t = −1

r = 2, q = 1, t = 7

r = 1, q = 2, t = −8

역행렬

1 ≡ −8·20 (mod 23)

x = 15

검산: 20·15 = 300 = 13·23 + 1

답

20⁻¹ mod 23 = 15

8.정수론과 모듈러 연산

답: c = 187

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

반복 제곱

17 = 16 + 1

234¹ ≡ 234 (mod 893)

234² ≡ 283 (mod 893)

234⁴ ≡ 612 (mod 893)

B · 차 있는 칸들이 길게 이어지는 1차 군집(primary clustering)

13.그래프 이론

답: 오일러 경로, 회로 없음

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

홀수 정점

D, E → 2

오일러 경로, 회로 없음

답

오일러 경로, 회로 없음

오일러 경로는 한 홀수 정점에서 시작해 다른 홀수 정점에서 끝납니다.

14.그래프 이론

답: d(F) = 10

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 1, C: 5

B (1): D: 5, G: 12

C (5): E: 8, G: 11

D (5): F: 10

E (8): G: 10

F (10)

G (10)

최단 경로

A → B → D → F

필요한 호스트 비트

2⁸ − 2 = 254 < 415

2⁹ − 2 = 510 ≥ 415 → h = 9

접두사 길이

p = 32 − 9 = 23

답

p = /23

20.IPv4 서브네팅

답: x = 63

블록 크기

2⁵ = 32

이 호스트의 서브넷

네트워크: ⌊37/32⌋·32 = 32

브로드캐스트: 32 + 32 − 1 = 63

사용 가능한 호스트: 33 … 62

답

x = 63

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