컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 2의 보수로 −101을 저장하도록 비트를 설정하세요. 부호 없는 수로 읽으면 패턴의 값 U은 얼마입니까?

N = −1018 bit

U =

2.진법어려움

압축하지 않은 이미지가 1920 × 1080 픽셀이고 픽셀당 24비트입니다. 메모리 M를 몇 KiB(1 KiB = 1024바이트) 차지할까요?

1920 × 1080 px24 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.명제논리와 증명보통

¬(a ∨ ¬a)은(는) 항진명제, 모순, 우연명제 중 무엇인가? 답을 클릭하세요.

¬(a ∨ ¬a)

1항진명제
2모순
3우연명제

4.명제논리와 증명어려움

전제 c ∨ b; ¬c ∨ a이(가) 주어져 있다. 이로부터 따라 나오는 결론은 어느 것인가? 클릭하세요.

c ∨ b¬c ∨ a

1b ∧ a
2¬b
3c ∨ a
4b ∨ a

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 11, 14, 15)의 최소 합의 곱(POS) 형태를 구하시오. 합항(인수)은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 11, 14, 15)

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(7, 10, 12, 14) + d(6, 8, 9, 11, 15)의 최소 SOP 형태를 구하시오. 리터럴은 몇 개(L)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(7, 10, 12, 14) + d(6, 8, 9, 11, 15)

L =

7.정수론과 모듈러 연산보통

30x ≡ 96 (mod 97)을(를) 푸시오. 0 < x < 97인 해 x을(를) 구하시오.

30x ≡ 96 (mod 97)

x =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

RSA 키가 소수 p = 19, q = 31과 공개 지수 e = 19를 쓴다. 개인 지수 d(0 < d < φ(n))을(를) 구하시오.

p = 19q = 31e = 19

d =

9.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = 2T(n/2) + O(1)의 해는 무엇입니까?

AO(n)
BO(log n)
CO(n log n)
DO(n²)

10.알고리즘과 복잡도어려움

누군가 NP-complete 문제 하나에 대한 다항 시간 알고리즘을 찾는다면 어떤 결과가 따릅니까?

A그 문제 하나만 P로 옮겨진다
BNP의 모든 문제를 다항 시간에 풀 수 있으므로 P = NP이다
C모든 지수 시간 알고리즘이 즉시 선형 시간에 실행된다
D정지 문제가 결정 가능해진다

11.자료구조보통

도로망에 교차로가 100,000개 있고, 각 교차로는 다른 교차로 약 4개와 연결됩니다. 가장 적합한 표현은 무엇입니까?

A간선들의 이진 힙
B인접 리스트
C정점들의 정렬된 배열 하나
D인접 행렬

12.자료구조어려움

정점이 V개이고 인접 행렬로 저장된 그래프에서 너비 우선 탐색의 실행 시간은 얼마입니까?

AO(V + E)
BO(V)
CO(E log V)
DO(V²)

13.그래프 이론보통

완전그래프 K₈의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₈

H =

14.그래프 이론어려움

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 5|E| = 7

W =

15.데이터베이스와 SQL보통

customers 테이블에서 서로 다른 도시의 수를 반환하는 쿼리는 무엇입니까?

ASELECT COUNT(DISTINCT city) FROM customers
BSELECT SUM(DISTINCT city) FROM customers
CSELECT DISTINCT COUNT(city) FROM customers
DSELECT COUNT(city) FROM customers GROUP BY city

16.데이터베이스와 SQL어려움

쓸 만한 인덱스가 없는 두 큰 테이블 간의 등가 조인에 옵티마이저가 흔히 선택하는 조인 알고리즘은 무엇입니까?

A인덱스 조회를 사용하는 중첩 루프 조인
B기본 키에 대한 비트맵 조인
C교차 조인
D해시 조인

17.컴퓨터 네트워크보통

HTTP는 상태를 유지하지 않습니다(stateless). 웹사이트는 보통 여러 요청에 걸쳐 사용자의 로그인 상태를 어떻게 유지합니까?

AURL에 비밀번호를 저장해서
BTCP 연결을 며칠 동안 열어 두어서
C세션 식별자나 토큰을 담은 쿠키로
D각 사용자에게 고정 IP 주소를 부여해서

18.컴퓨터 네트워크어려움

서버의 개인 키가 1년 후에 도난당합니다. 오늘 기록된 세션을 안전하게 지켜 주는 TLS 속성은 무엇입니까?

A더 긴 도메인 이름 사용
B암호화 전에 데이터 압축
C인증서를 두 번 전송
D임시(ephemeral) 디피-헬먼 키 교환에 의한 순방향 비밀성(forward secrecy)

19.IPv4 서브네팅보통

네트워크 192.168.10.0/24를 크기가 같은 서브넷 16개 이상으로 나누어야 합니다. 가능한 한 적은 비트를 빌리면 각 서브넷에서 사용 가능한 호스트 H는 몇 개일까요?

192.168.10.0/2416 subnets

H =

20.IPv4 서브네팅어려움

라우터에 다음 네트워크로의 경로가 있습니다: 10.114.208.0/24, 10.114.209.0/24, 10.114.210.0/24, 10.114.211.0/24, 10.114.212.0/24. 이들을 모두 포함하는 단일 요약 경로의 가장 긴 접두사 길이 p는 얼마일까요?

10.114.208.0/24 … 10.114.212.0/24

p =

3용액

1.진법

답: U = 155

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

반전하고 1 더하기

101 = 0110 0101

반전 후: 1001 1010

+1 → 1001 1011

부호 없는 수로 읽기

1001 1011₂ = 256 − 101 = 155

답

U = 155

2.진법

답: M = 6075 KiB

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

비트와 바이트

1920·1080·24 = 49766400 bit = 6220800 B

KiB로 변환

6220800/1024 = 6075 KiB

답

M = 6075 KiB

3.명제논리와 증명

답: 모순

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

행별 진리표

a = 1: ¬a = 0, a ∨ ¬a = 1, ¬(a ∨ ¬a) = 0

a = 0: ¬a = 1, a ∨ ¬a = 1, ¬(a ∨ ¬a) = 0

분류

¬(a ∨ ¬a): 0, 0

모든 행에서 0: 모순.

답

모순

4.명제논리와 증명

답: b ∨ a

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

모든 전제가 참인 행

a = 1, b = 1, c = 1: b ∧ a = 1, ¬b = 0, c ∨ a = 1, b ∨ a = 1

a = 1, b = 1, c = 0: b ∧ a = 1, ¬b = 0, c ∨ a = 1, b ∨ a = 1

a = 1, b = 0, c = 1: b ∧ a = 0, ¬b = 1, c ∨ a = 1, b ∨ a = 1

a = 0, b = 1, c = 0: b ∧ a = 0, ¬b = 0, c ∨ a = 0, b ∨ a = 1

결론

b ∨ a (분해능)

답

b ∨ a

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 4

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

0 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

(B + D)

(B′ + C + D′)

(A + C′)

(A′ + C)

최소 POS 형태

F = (B + D)(B′ + C + D′)(A + C′)(A′ + C)

N = 4

답

N = 4

같은 크기의 다른 묶음도 있으며, 항과 리터럴의 수는 같습니다.

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 4

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

BC, AD′, AC, AB′

최소 덮개

F = BC + AD′

L = 4

답

L = 4

7.정수론과 모듈러 연산

답: x = 42

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

30의 역원

r = 97, t = 0

r = 30, q = 3, t = 1

r = 7, q = 4, t = −3

r = 2, q = 3, t = 13

r = 1, q = 2, t = −42

30⁻¹ ≡ 55 (mod 97)

풀기

x ≡ 55·96 = 5280 ≡ 42 (mod 97)

검산: 30·42 = 1260 ≡ 96 (mod 97)

답

x = 42

8.정수론과 모듈러 연산

답: d = 199

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

법과 오일러 피 함수 값

n = 19·31 = 589

φ(n) = 18·30 = 540

확장 유클리드 알고리즘

r = 540, t = 0

r = 19, q = 28, t = 1

r = 8, q = 2, t = −28

r = 3, q = 2, t = 57

r = 2, q = 1, t = −142

r = 1, q = 2, t = 199

개인 지수

d = 199

세기

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

답

H = 2520

14.그래프 이론

답: W = 29

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

BD (1): 선택

BE (6): 선택

D · 임시(ephemeral) 디피-헬먼 키 교환에 의한 순방향 비밀성(forward secrecy)

19.IPv4 서브네팅

답: H = 14

IPv4 서브네팅: 주소는 32비트입니다. 접두사 /p는 앞의 몇 비트가 네트워크를 나타내는지를 말하고, 나머지 32 − p비트로 호스트 번호를 매깁니다. 서브넷에는 주소가 2³²⁻ᵖ개 있지만 첫 주소(네트워크 주소)와 마지막 주소(브로드캐스트 주소)는 호스트에 줄 수 없어 호스트 2³²⁻ᵖ − 2개가 들어갑니다. 예외: /31(점대점 링크, RFC 3021)은 주소 2개를 모두 호스트에 쓰고, /32는 단일 주소(단일 호스트 또는 루프백)입니다.

빌릴 비트 수

2⁴ = 16 ≥ 16 → b = 4, /28

서브넷당 호스트 수

2⁴ − 2 = 14

답

H = 14

20.IPv4 서브네팅

답: p = 21

경로 요약: 요약 경로 a.b.c.0/p는 처음 p비트가 일치하는 모든 네트워크를 포함합니다. 첫 번째와 마지막 네트워크에서 다른 옥텟을 2진수로 쓰고, 공통 앞쪽 비트 수에 그 앞 옥텟들의 비트를 더하면 가장 긴 요약 접두사가 됩니다.

비트 비교

208 = 11010000

212 = 11010100

공통 앞쪽 비트: 5

접두사 길이

p = 16 + 5 = 21

답

p = /21

요약 경로: 10.114.208.0/21 (목록에 없는 네트워크 3개도 포함합니다).

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