컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 패턴 1011 0000는 부호 있는 정수를 2의 보수로 저장합니다. 10진수 값 N는 얼마일까요?

1011 00008 bit

N =

2.진법어려움

어떤 시스템이 4400개 항목 각각에 같은 길이의 고유한 2진 코드를 주어야 합니다. 필요한 최소 비트 수 b는 얼마일까요?

4400

b = bit

3.명제논리와 증명보통

(b → c) ↔ (c → b)은(는) 항진명제, 모순, 우연명제 중 무엇인가? 답을 클릭하세요.

(b → c) ↔ (c → b)

1항진명제
2모순
3우연명제

4.명제논리와 증명어려움

부정을 가장 안쪽까지 옮긴 ¬∃x (A(x) → B(x))와(과) 동치인 문장은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬∃x (A(x) → B(x))

1∀x (¬A(x) → ¬B(x))
2∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
3∃x (A(x) ∧ ¬B(x))
4∀x (A(x) → ¬B(x))

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 6, 7)의 최소 곱의 합(SOP) 형태를 구하시오. 전체 리터럴은 몇 개(L)인가(프라임이 붙은 변수도 리터럴 하나로 센다)?

F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 6, 7)

L =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(3, 8, 9, 13, 14, 15) + d(7, 10)의 최소 SOP 형태를 구하시오. 리터럴은 몇 개(L)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(3, 8, 9, 13, 14, 15) + d(7, 10)

L =

7.정수론과 모듈러 연산보통

오일러 피 함수 φ(441), 곧 1부터 441까지의 정수 중 441와(과) 서로소인 수의 개수를 구하시오.

n = 441 = 3²·7²

φ(441) =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

22x ≡ 2 (mod 70)은(는) {0, 1, …, 69}에서 해가 몇 개(N)인가?

22x ≡ 2 (mod 70)

N =

9.알고리즘과 복잡도보통

상향식 표로 n번째 피보나치 수를 계산하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(log n)
BO(2ⁿ)
CO(n²)
DO(n)

10.알고리즘과 복잡도어려움

정지 문제(halting problem)가 보여 주는 것은 무엇입니까?

A일부 프로그램은 더 빠른 컴퓨터에서 더 빨리 실행되므로 정지 여부는 하드웨어에 달려 있다
B모든 프로그램은 결국 정지한다
C모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다
D루프는 피해야 한다

11.자료구조보통

"{[()]}"의 괄호가 균형을 이루는지 확인하는 데 사용하는 자료 구조는 무엇입니까?

A해시 테이블
B큐
C스택
D이진 탐색 트리

12.자료구조어려움

기수 트리(radix tree, 압축 트라이)는 일반 트라이를 어떻게 개선합니까?

A각 단어의 첫 글자만 유지한다
B각 노드의 자식을 빈도순으로 정렬한다
C자식이 하나인 노드들의 사슬을 문자열로 레이블된 간선 하나로 합친다
D각 단어를 개별 노드가 아니라 루트의 해시 테이블에 저장한다

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 7|E| = 8

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 5단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 5

15.데이터베이스와 SQL보통

고객별 주문 수를 반환하는 쿼리는 무엇입니까?

ASELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id
BSELECT customer_id FROM orders WHERE COUNT(*) > 0
CSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders ORDER BY customer_id
DSELECT DISTINCT COUNT(*) FROM orders

16.데이터베이스와 SQL어려움

운영 쿼리에서 NATURAL JOIN이 위험하다고 여겨지는 이유는 무엇입니까?

A기본 키와 외래 키를 무시하고 NULL 행만 유지한다
B어떤 데이터베이스도 지원하지 않는다
C이름이 같은 모든 열로 조인하므로 새 열 하나가 결과를 조용히 바꿀 수 있다
D항상 카티션 곱을 반환한다

17.컴퓨터 네트워크보통

고전적인 공유(반이중) 이더넷은 어떤 매체 접근 방식을 사용했습니까?

ACSMA/CD
BCSMA/CA
C토큰 패싱
DTDMA

18.컴퓨터 네트워크어려움

디피-헬먼 키 교환은 그 자체로 무엇을 달성하며, 약점은 무엇입니까?

A비밀번호로 두 사용자를 인증하지만, 중앙 서버가 필요하다
B공개 채널에서 공유 비밀을 합의하지만, 단독으로는 중간자 공격에 취약하다
C공개 채널에서 대량의 데이터를 직접 암호화하지만, 큰 파일과 영상에는 너무 느리다
D웹사이트 인증서에 서명하지만, 짧은 키에서만 동작한다

19.IPv4 서브네팅보통

한 서브넷이 마스크 255.255.255.240을 씁니다. 사용 가능한 호스트 주소 H는 몇 개일까요?

255.255.255.240

H =

20.IPv4 서브네팅어려움

어떤 호스트의 주소가 10.20.141.110/28입니다. 그 네트워크 주소의 네 번째 옥텟 x는 얼마일까요?

10.20.141.110/28

x =

3용액

1.진법

답: N = −80

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

자리값 더하기

나머지 비트는 원래의 양의 자리값을 유지합니다.

−128 + 32 + 16 = −80

답

N = −80

2.진법

답: b = 13 bit

2의 거듭제곱

2¹² = 4096 < 4400

2¹³ = 8192 ≥ 4400

답

b = 13

3.명제논리와 증명

답: 우연명제

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

행별 진리표

b = 1, c = 1: b → c = 1, c → b = 1, (b → c) ↔ (c → b) = 1

b = 1, c = 0: b → c = 0, c → b = 1, (b → c) ↔ (c → b) = 0

b = 0, c = 1: b → c = 1, c → b = 0, (b → c) ↔ (c → b) = 0

b = 0, c = 0: b → c = 1, c → b = 1, (b → c) ↔ (c → b) = 1

분류

(b → c) ↔ (c → b): 1, 0, 0, 1

4개 행 중 2개 행에서는 1이고 나머지에서는 0입니다: 우연 명제(contingency).

답

우연명제

4.명제논리와 증명

답: ∀x (A(x) ∧ ¬B(x))

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

부정을 안쪽으로 옮기기

¬∃x (A(x) → B(x)) ≡ ∀x (A(x) ∧ ¬B(x))

답

∀x (A(x) ∧ ¬B(x))

다른 보기는 한정자를 그대로 두거나, 한정자의 순서를 바꾸거나, 안쪽 식을 잘못 부정한 것입니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 3

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

1 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

A′C′

최소 SOP 형태

F = B + A′C′

L = 3

답

L = 3

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 12

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

BCD, A′CD, AC′D, ACD′, AB′D′, ABD, AB′C′, ABC

최소 덮개

F = A′CD + ACD′ + ABD + AB′C′

L = 12

답

L = 12

같은 크기의 다른 묶음도 있으며, 항과 리터럴의 수는 같습니다.

7.정수론과 모듈러 연산

답: φ(441) = 252

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

소인수

441 = 3²·7²

오일러 피 함수 값

φ(441) = φ(9)·φ(49) = 6·42 = 252

답

φ(441) = 252

8.정수론과 모듈러 연산

답: N = 2

gcd로 나누기

gcd(22, 70) = 2

11x ≡ 1 (mod 35)

줄인 합동식 풀기

11⁻¹ ≡ 16 (mod 35) → x ≡ 16 (mod 35)

70을(를) 법으로 한 해

x ∈ {16, 51}

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 1, deg(G) = 4

홀수 정점

A, F → 2

오일러 경로, 회로 없음

답

오일러 경로, 회로 없음

오일러 경로는 한 홀수 정점에서 시작해 다른 홀수 정점에서 끝납니다.

14.그래프 이론

답: G

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 4, C: 10

2. B (4): D: 11, G: 13

3. C (10): E: 20, G: 12

4. D (11)

5. G (12): E: 17

6. E (17): F: 23

디피-헬먼은 두 당사자가 도청자는 계산할 수 없는 같은 비밀을 도출하게 합니다. 값이 서명되거나 달리 인증되지 않으면 중간의 공격자가 각 측과 별도의 교환을 수행할 수 있습니다.

답

B · 공개 채널에서 공유 비밀을 합의하지만, 단독으로는 중간자 공격에 취약하다

19.IPv4 서브네팅

답: H = 14

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

접두사 길이

255.255.255.240 = /28

사용 가능한 호스트

2⁴ − 2 = 14

답

H = 14

20.IPv4 서브네팅

답: x = 96

IPv4 서브네팅: 주소는 32비트입니다. 접두사 /p는 앞의 몇 비트가 네트워크를 나타내는지를 말하고, 나머지 32 − p비트로 호스트 번호를 매깁니다. 서브넷에는 주소가 2³²⁻ᵖ개 있지만 첫 주소(네트워크 주소)와 마지막 주소(브로드캐스트 주소)는 호스트에 줄 수 없어 호스트 2³²⁻ᵖ − 2개가 들어갑니다. 예외: /31(점대점 링크, RFC 3021)은 주소 2개를 모두 호스트에 쓰고, /32는 단일 주소(단일 호스트 또는 루프백)입니다.

블록 크기

2⁴ = 16

이 호스트의 서브넷

네트워크: ⌊110/16⌋·16 = 96

브로드캐스트: 96 + 16 − 1 = 111

사용 가능한 호스트: 97 … 110

답

x = 96

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals