컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 2의 보수로 −86을 저장하도록 비트를 설정하세요. 부호 없는 수로 읽으면 패턴의 값 U은 얼마입니까?

N = −868 bit

U =

2.진법어려움

24비트에 들어가는 가장 큰 부호 없는 정수 N는 얼마일까요?

24 bit

N =

3.명제논리와 증명보통

r → q와(과) 논리적으로 동치인 식은 어느 것인가? 클릭하세요.

r → q

1¬q ∧ ¬r
2q → r
3¬r → ¬q
4¬q → ¬r

4.명제논리와 증명어려움

진리표의 16개 행 중 몇 개에서 ((b ∨ a) ∧ d) ∧ ((¬c ∧ d) ↔ a)이(가) 참인가? 이 수를 N(이)라 하자.

((b ∨ a) ∧ d) ∧ ((¬c ∧ d) ↔ a)

N =

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

F = ABC′ + AC′ + A′BC′을(를) 최소 곱의 합 형태로 간소화하시오. 간소화한 식에는 리터럴이 몇 개(L) 있는가?

F = ABC′ + AC′ + A′BC′

L =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(5, 7, 8, 12, 13) + d(2, 9)의 필수 소 임플리컨트의 개수 N을(를) 구하시오.

F(A, B, C, D) = Σm(5, 7, 8, 12, 13) + d(2, 9)

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

58을(를) 법으로 하는 35의 역원, 곧 0 < x < 58이고 35·x ≡ 1 (mod 58)인 수 x을(를) 구하시오.

a = 35n = 58

35⁻¹ mod 58 =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

RSA 키가 소수 p = 23, q = 29과 공개 지수 e = 17를 쓴다. 개인 지수 d(0 < d < φ(n))을(를) 구하시오.

p = 23q = 29e = 17

d =

9.알고리즘과 복잡도보통

간선 가중치가 음이 아닌 그래프에서 하나의 출발점으로부터 최단 경로를 찾는 알고리즘은 무엇입니까?

ADijkstra 알고리즘
B깊이 우선 탐색(DFS)
CKruskal 알고리즘
D모든 경우에 Bellman–Ford가 필요함

10.알고리즘과 복잡도어려움

큰 n에서 n!과 2ⁿ은 어떻게 비교됩니까?

A같은 비율로 증가한다
Bn!이 2ⁿ보다 빠르게 증가한다
Cn!은 O(n²)이다
D2ⁿ이 n!보다 빠르게 증가한다

11.자료구조보통

큐를 스택 두 개로 구현합니다. "in" 스택에 push하고 "out" 스택에서 pop하며, "out"이 비면 "in"에서 다시 채웁니다. 연산당 분할 상환 비용은 얼마입니까?

AO(1)
BO(n)
CO(log n)
DO(n²)

12.자료구조어려움

기수 트리(radix tree, 압축 트라이)는 일반 트라이를 어떻게 개선합니까?

A각 노드의 자식을 빈도순으로 정렬한다
B각 단어를 개별 노드가 아니라 루트의 해시 테이블에 저장한다
C각 단어의 첫 글자만 유지한다
D자식이 하나인 노드들의 사슬을 문자열로 레이블된 간선 하나로 합친다

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 6|E| = 6

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

D에서 C까지 가는 길이 3의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3

N =

15.데이터베이스와 SQL보통

employees 테이블에 다른 직원을 참조하는 manager_id 열이 있습니다. 각 직원을 관리자의 이름과 나란히 나열하려면 어떻게 합니까?

Amanager_id로만 GROUP BY를 사용한다
B두 개의 별칭을 사용하여 employees 테이블을 자기 자신과 조인한다
C디스크에 테이블의 두 번째 사본을 만든다
DUNION ALL과 WHERE 필터로 테이블을 자기 자신과 합친다

16.데이터베이스와 SQL어려움

점수가 90, 90, 80입니다. RANK() OVER (ORDER BY score DESC)는 어떤 값을 줍니까?

A1, 2, 3
B1, 1, 3
C1, 1, 2
D2, 2, 3

17.컴퓨터 네트워크보통

NAT(네트워크 주소 변환)의 주된 용도는 무엇입니까?

A두 사이트 간의 트래픽을 암호화하는 것
B사설 주소를 가진 여러 장치가 하나의 공인 IP 주소를 공유하게 하는 것
C로컬 네트워크의 장치를 위해 도메인 이름을 IP 주소로 변환하는 것
D네트워크 케이블의 속도를 높이는 것

18.컴퓨터 네트워크어려움

링크 상태(link-state) 방식의 라우팅 프로토콜은 무엇입니까?

ARIP
BOSPF
CARP
DBGP

19.IPv4 서브네팅보통

어느 부서가 한 서브넷에 호스트 주소 674개가 필요합니다. 충분한 가장 긴 접두사 길이 p(가장 작은 서브넷)는 얼마일까요?

674 hosts

p =

20.IPv4 서브네팅어려움

어떤 호스트의 주소가 10.20.49.17/30입니다. 그 서브넷 브로드캐스트 주소의 마지막 숫자(네 번째 옥텟) x는 얼마일까요?

10.20.49.17/30

x =

3용액

1.진법

답: U = 170

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

반전하고 1 더하기

86 = 0101 0110

반전 후: 1010 1001

+1 → 1010 1010

부호 없는 수로 읽기

1010 1010₂ = 256 − 86 = 170

답

U = 170

2.진법

답: N = 1.678 × 10⁷

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

최댓값

2²⁴ − 1 = 16777215

답

N = 16777215

3.명제논리와 증명

답: ¬q → ¬r

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

법칙

함의는 대우 ¬b → ¬a와 동치이며, 역 b → a나 이(裏) ¬a → ¬b와는 동치가 아닙니다.

r → q ≡ ¬q → ¬r

진리표로 확인

q = 1, r = 1: 1 | 0 1 1 1

q = 1, r = 0: 1 | 0 0 0 1

q = 0, r = 1: 0 | 0 1 1 0

q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1

답

¬q → ¬r

막대 뒤의 열은 보기를 표시된 순서대로 나타낸 것입니다.

4.명제논리와 증명

답: N = 3

진리표: 서로 다른 변수가 n개인 식은 참값(1 = 참, 0 = 거짓)의 모든 조합마다 하나씩 2ⁿ개의 행을 가집니다. 안쪽부터 바깥쪽으로 작업하고 모든 부분식에 각각 열을 주세요. ¬a는 값을 뒤집습니다. a ∧ b는 둘 다 1일 때만 1입니다. a ∨ b는 둘 다 0일 때만 0입니다. a → b는 a = 1이고 b = 0일 때만 0입니다. a ↔ b는 양쪽이 같을 때 1입니다.

열

b ∨ a; (b ∨ a) ∧ d; ¬c; ¬c ∧ d; (¬c ∧ d) ↔ a; ((b ∨ a) ∧ d) ∧ ((¬c ∧ d) ↔ a)

a을(를) 기준으로 나누기

a = 1: 2

a = 0: 1

N = 2 + 1 = 3

답

N = 3

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 4

불 대수: 식을 간소화하는 규칙은 X + X′ = 1과 X·X′ = 0, X + X = X, 흡수 법칙 X + X·Y = X, 결합 규칙 X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y, 그리고 합의 정리 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z입니다. 드모르간 법칙은 (X·Y)′를 X′ + Y′로, (X + Y)′를 X′·Y′로 바꿉니다. 카르노 맵은 이 규칙들을 그림으로 적용합니다. 이웃한 두 칸의 그룹은 모두 XY + XY′ = X를 한 번 쓴 것입니다.

식의 최소항

ABC′ → m(6)

AC′ → m(4, 6)

A′BC′ → m(2)

묶어서 읽기

F = BC′ + AC′

리터럴 세기

L = 4

답

L = 4

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 2

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

BC′D, AC′, A′BD

필수 소 임플리컨트

AC′, A′BD

N = 2

답

N = 2

7.정수론과 모듈러 연산

답: 35⁻¹ mod 58 = 5

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

확장 유클리드 알고리즘

각 나머지 r은 r ≡ t·35 (mod 58)로 쓸 수 있습니다.

r = 58, t = 0

r = 35, q = 1, t = 1

r = 23, q = 1, t = −1

r = 12, q = 1, t = 2

r = 11, q = 1, t = −3

r = 1, q = 11, t = 5

역행렬

1 ≡ 5·35 (mod 58)

x = 5

검산: 35·5 = 175 = 3·58 + 1

답

35⁻¹ mod 58 = 5

8.정수론과 모듈러 연산

답: d = 145

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

법과 오일러 피 함수 값

n = 23·29 = 667

φ(n) = 22·28 = 616

확장 유클리드 알고리즘

r = 616, t = 0

r = 17, q = 36, t = 1

r = 4, q = 4, t = −36

r = 1, q = 4, t = 145

개인 지수

d = 145

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

홀수 정점

A, B, E, F → 4

둘 다 아님

답

둘 다 아님

14.그래프 이론

답: N = 1

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 0

B · OSPF

19.IPv4 서브네팅

답: p = 22

IPv4 서브네팅: 주소는 32비트입니다. 접두사 /p는 앞의 몇 비트가 네트워크를 나타내는지를 말하고, 나머지 32 − p비트로 호스트 번호를 매깁니다. 서브넷에는 주소가 2³²⁻ᵖ개 있지만 첫 주소(네트워크 주소)와 마지막 주소(브로드캐스트 주소)는 호스트에 줄 수 없어 호스트 2³²⁻ᵖ − 2개가 들어갑니다. 예외: /31(점대점 링크, RFC 3021)은 주소 2개를 모두 호스트에 쓰고, /32는 단일 주소(단일 호스트 또는 루프백)입니다.

필요한 호스트 비트

2⁹ − 2 = 510 < 674

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 674 → h = 10

접두사 길이

p = 32 − 10 = 22

답

p = /22

20.IPv4 서브네팅

답: x = 19

블록 크기

2² = 4

이 호스트의 서브넷

네트워크: ⌊17/4⌋·4 = 16

브로드캐스트: 16 + 4 − 1 = 19

사용 가능한 호스트: 17 … 18

답

x = 19

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