컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 2의 보수로 −62을 저장하도록 비트를 설정하세요. 부호 없는 수로 읽으면 패턴의 값 U은 얼마입니까?

N = −628 bit

U =

2.진법어려움

압축하지 않은 이미지가 512 × 512 픽셀이고 픽셀당 32비트입니다. 메모리 M를 몇 KiB(1 KiB = 1024바이트) 차지할까요?

512 × 512 px32 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.명제논리와 증명보통

p ∧ ¬p은(는) 항진명제, 모순, 우연명제 중 무엇인가? 답을 클릭하세요.

p ∧ ¬p

1항진명제
2모순
3우연명제

4.명제논리와 증명어려움

전제 a → b; c → b과(와) 결론 a → c을(를) 가진 논증은 타당하지 않다. 반례가 되는 진리표의 행을 클릭하세요.

a → bc → b∴ a → c

1a = 1, b = 1, c = 1
2a = 1, b = 1, c = 0
3a = 1, b = 0, c = 1
4a = 1, b = 0, c = 0
5a = 0, b = 1, c = 1
6a = 0, b = 1, c = 0
7a = 0, b = 0, c = 1
8a = 0, b = 0, c = 0

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

F = A′C + A′B′C′ + ABC′ + ABC을(를) 최소 곱의 합 형태로 간소화하시오. 간소화한 식에는 리터럴이 몇 개(L) 있는가?

F = A′C + A′B′C′ + ABC′ + ABC

L =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

mod-20 카운터를 최소 개수의 플립플롭으로 만들었다. 가능한 상태 중 사용되지 않는 것은 몇 개(U)인가?

N = 20

U =

7.정수론과 모듈러 연산보통

x ≡ 8 (mod 10)이고 x ≡ 10 (mod 11)인 가장 작은 양의 정수 x을(를) 구하시오.

x ≡ 8 (mod 10)x ≡ 10 (mod 11)

x =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

58x ≡ 18 (mod 68)을(를) 푸시오. 가장 작은 양의 해 x을(를) 구하시오.

58x ≡ 18 (mod 68)

x =

9.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = 2T(n/2) + O(1)의 해는 무엇입니까?

AO(n)
BO(n²)
CO(log n)
DO(n log n)

10.알고리즘과 복잡도어려움

어떤 입력에 대해서도 퀵 정렬의 기대(expected) 실행 시간을 O(n log n)으로 만드는 기법은 무엇입니까?

A퀵 정렬을 실행하기 전에 입력을 정렬하기
B항상 첫 번째 원소를 선택하기
C피벗을 균등하게 무작위로 선택하기
D왼쪽에만 재귀를 사용하기

11.자료구조보통

충돌한 키들을 같은 버킷의 리스트에 저장하는 충돌 해결 방법은 무엇입니까?

A선형 탐사(Linear probing)
B분리 체이닝(Separate chaining)
C이차 탐사(Quadratic probing)
D이중 해싱(Double hashing)

12.자료구조어려움

어떤 객체를 해시 맵의 키로 저장한 뒤, 그 해시 함수가 사용하는 필드를 바꿉니다. 예상되는 결과는 무엇입니까?

A맵이 자동으로 키를 새 버킷으로 옮긴다
B키의 해시는 프로그램이 시작될 때 한 번만 계산되므로 아무것도 바뀌지 않는다
C필드가 바뀌는 순간 맵이 오류를 던진다
D객체가 이전 해시의 버킷에 있으므로 조회가 실패할 수 있다

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 6

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F

d(F) =

15.데이터베이스와 SQL보통

두 SELECT 쿼리 사이에 사용한 INTERSECT는 무엇을 반환합니까?

A결과들의 카티션 곱
B첫 번째 결과에는 있지만 두 번째에는 없는 행
C두 결과 모두에 나타나는 행
D두 결과의 모든 행

16.데이터베이스와 SQL어려움

다중 버전 동시성 제어(MVCC)에서 읽는 쪽은 어떻게 쓰는 쪽을 막지 않을 수 있습니까?

A읽는 쪽은 커밋되지 않은 데이터를 직접 읽는다
B읽는 쪽은 커밋된 행 버전의 일관된 스냅샷을 보고, 쓰는 쪽은 새 버전을 만든다
C읽는 쪽은 항상 모든 쓰는 쪽이 커밋할 때까지 기다린다
D읽는 쪽이 활성 상태인 동안에는 쓰기가 허용되지 않는다

17.컴퓨터 네트워크보통

IPv6 루프백 주소는 무엇입니까?

A::
Bfe80::1
Cff02::1
D::1

18.컴퓨터 네트워크어려움

TCP 빠른 재전송(fast retransmit)은 무엇을 합니까?

A안전을 위해 모든 세그먼트를 두 번씩 재전송한다
B타임아웃을 기다리지 않고 중복 ACK 세 개를 받으면 세그먼트를 재전송한다
C알려진 호스트에 다시 연결할 때 3방향 핸드셰이크를 건너뛰어 데이터가 더 빨리 재전송된다
D손실이 생길 때마다 윈도를 두 배로 늘린다

19.IPv4 서브네팅보통

어느 부서가 한 서브넷에 호스트 주소 1736개가 필요합니다. 충분한 가장 긴 접두사 길이 p(가장 작은 서브넷)는 얼마일까요?

1736 hosts

p =

20.IPv4 서브네팅어려움

라우터에 다음 네트워크로의 경로가 있습니다: 10.49.132.0/24, 10.49.133.0/24, 10.49.134.0/24, 10.49.135.0/24, 10.49.136.0/24, 10.49.137.0/24, 10.49.138.0/24. 이들을 모두 포함하는 단일 요약 경로의 가장 긴 접두사 길이 p는 얼마일까요?

10.49.132.0/24 … 10.49.138.0/24

p =

3용액

1.진법

답: U = 194

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

반전하고 1 더하기

62 = 0011 1110

반전 후: 1100 0001

+1 → 1100 0010

부호 없는 수로 읽기

1100 0010₂ = 256 − 62 = 194

답

U = 194

2.진법

답: M = 1024 KiB

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

비트와 바이트

512·512·32 = 8388608 bit = 1048576 B

KiB로 변환

1048576/1024 = 1024 KiB

답

M = 1024 KiB

3.명제논리와 증명

답: 모순

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

행별 진리표

p = 1: ¬p = 0, p ∧ ¬p = 0

p = 0: ¬p = 1, p ∧ ¬p = 0

분류

p ∧ ¬p: 0, 0

모든 행에서 0: 모순.

답

모순

4.명제논리와 증명

답: a = 1, b = 1, c = 0

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

행별 전제와 결론

a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 1 | 0

a = 1, b = 0, c = 1: 0 0 | 1

a = 1, b = 0, c = 0: 0 1 | 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 1 | 1

a = 0, b = 1, c = 0: 1 1 | 1

a = 0, b = 0, c = 1: 1 0 | 1

a = 0, b = 0, c = 0: 1 1 | 1

반례

a = 1, b = 1, c = 0

답

a = 1, b = 1, c = 0

이런 형식의 논증은 타당한 규칙처럼 보이지만, 행 하나만으로 그렇지 않음을 보일 수 있습니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 6

불 대수: 식을 간소화하는 규칙은 X + X′ = 1과 X·X′ = 0, X + X = X, 흡수 법칙 X + X·Y = X, 결합 규칙 X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y, 그리고 합의 정리 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z입니다. 드모르간 법칙은 (X·Y)′를 X′ + Y′로, (X + Y)′를 X′·Y′로 바꿉니다. 카르노 맵은 이 규칙들을 그림으로 적용합니다. 이웃한 두 칸의 그룹은 모두 XY + XY′ = X를 한 번 쓴 것입니다.

식의 최소항

A′C → m(1, 3)

A′B′C′ → m(0)

ABC′ → m(6)

ABC → m(7)

묶어서 읽기

F = BC + A′B′ + AB

리터럴 세기

L = 6

답

L = 6

같은 크기의 다른 묶음도 있으며, 리터럴의 수는 같습니다.

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: U = 12

플립플롭과 카운터: 플립플롭은 클록의 활성 에지에서만 바뀝니다. D는 입력을 복사합니다(Q⁺ = D). T는 T = 1이면 토글합니다. JK는 00이면 유지, 01이면 리셋, 10이면 셋, 11이면 토글합니다. n비트 이진 카운터는 상태가 2ⁿ개이고 2ⁿ을 법으로 세며, mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가고 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n개의 플립플롭이 필요합니다. 리플 카운터는 단마다 주파수가 절반이 되므로 mod-N 카운터의 마지막 출력은 f_clk/N으로 동작합니다. 플립플롭 n개의 존슨 카운터는 상태가 2n개, 링 카운터는 n개입니다.

플립플롭의 수

2ⁿ ≥ 20 → n = 5 (2⁵ = 32)

사용되지 않는 상태

U = 32 − 20 = 12

답

U = 12

7.정수론과 모듈러 연산

답: x = 98

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

첫 번째 합동식

x = 8 + 10k

두 번째 합동식

8 + 10k ≡ 10 (mod 11) → 10k ≡ 2 (mod 11)

k ≡ 10·2 ≡ 9 (mod 11)

결과

x = 8 + 10·9 = 98

x = 98

검산: 98 mod 10 = 8, 98 mod 11 = 10

답

x = 98

8.정수론과 모듈러 연산

답: x = 5

gcd로 나누기

gcd(58, 68) = 2

29x ≡ 9 (mod 34)

줄인 합동식 풀기

29⁻¹ ≡ 27 (mod 34) → x ≡ 5 (mod 34)

68을(를) 법으로 한 해

x ∈ {5, 39}

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

홀수 정점

오일러 회로

답

오일러 회로

14.그래프 이론

답: d(F) = 14

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 1, C: 5

B (1): C: 2, D: 13, G: 12

C (2): E: 17

G (12)

D (13): F: 14

F (14)

E (17)

최단 경로

A → B → D → F

필요한 호스트 비트

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1736

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1736 → h = 11

접두사 길이

p = 32 − 11 = 21

답

p = /21

20.IPv4 서브네팅

답: p = 20

경로 요약: 요약 경로 a.b.c.0/p는 처음 p비트가 일치하는 모든 네트워크를 포함합니다. 첫 번째와 마지막 네트워크에서 다른 옥텟을 2진수로 쓰고, 공통 앞쪽 비트 수에 그 앞 옥텟들의 비트를 더하면 가장 긴 요약 접두사가 됩니다.

비트 비교

132 = 10000100

138 = 10001010

공통 앞쪽 비트: 4

접두사 길이

p = 16 + 4 = 20

답

p = /20

요약 경로: 10.49.128.0/20 (목록에 없는 네트워크 9개도 포함합니다).

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