컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 2의 보수로 −70을 저장하도록 비트를 설정하세요. 부호 없는 수로 읽으면 패턴의 값 U은 얼마입니까?

N = −708 bit

U =

2.진법어려움

압축하지 않은 이미지가 1280 × 720 픽셀이고 픽셀당 16비트입니다. 메모리 M를 몇 KiB(1 KiB = 1024바이트) 차지할까요?

1280 × 720 px16 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.명제논리와 증명보통

r → (r ∧ p)은(는) 항진명제, 모순, 우연명제 중 무엇인가? 답을 클릭하세요.

r → (r ∧ p)

1항진명제
2모순
3우연명제

4.명제논리와 증명어려움

진리표의 16개 행 중 몇 개에서 (d ↔ ¬b) → (c → a)이(가) 참인가? 이 수를 N(이)라 하자.

(d ↔ ¬b) → (c → a)

N =

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 5)의 최소 곱의 합(SOP) 형태를 구하시오. 곱항은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 5)

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 11, 14) + d(5, 6, 7, 15)의 최소 SOP 형태를 구하시오. 리터럴은 몇 개(L)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 11, 14) + d(5, 6, 7, 15)

L =

7.정수론과 모듈러 연산보통

83을(를) 법으로 하는 76의 역원, 곧 0 < x < 83이고 76·x ≡ 1 (mod 83)인 수 x을(를) 구하시오.

a = 76n = 83

76⁻¹ mod 83 =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

14x ≡ 10 (mod 30)은(는) {0, 1, …, 29}에서 해가 몇 개(N)인가?

14x ≡ 10 (mod 30)

N =

9.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = T(n − 1) + O(1)의 해는 무엇입니까?

AO(n)
BO(2ⁿ)
CO(n²)
DO(log n)

10.알고리즘과 복잡도어려움

상향식(bottom-up) 방법으로 정렬되지 않은 n개의 원소로 이진 힙을 구성하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(n log n)
BO(log n)
CO(n²)
DO(n)

11.자료구조보통

이진 탐색 트리의 한 노드에 오른쪽 서브트리가 있습니다. 그 노드의 중위 후속자(in-order successor)는 어디에 있습니까?

A항상 오른쪽 자식
B오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드
C항상 부모
D왼쪽 서브트리의 가장 오른쪽 노드

12.자료구조어려움

원소가 n개인 이진 최소 힙에서 임의의 키를 탐색하는 데 얼마나 걸립니까?

AO(1)
BO(log log n)
CO(n)
DO(log n)

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 7

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 7|E| = 10

W =

15.데이터베이스와 SQL보통

orders 테이블에는 각각 기존 고객을 참조하는 5개의 행이 있습니다. customers 테이블에는 3개의 행이 있습니다. customer_id로 INNER JOIN하면 몇 개의 행이 반환됩니까?

16.데이터베이스와 SQL어려움

깊이를 알 수 없는 조직도에서 한 관리자 아래의 모든 직원을 찾는 데 가장 적합한 SQL 기능은 무엇입니까?

A재귀 공통 테이블 식(WITH RECURSIVE)
Bmanager_id를 기준으로 employees 테이블을 한 번 자기 조인하는 것
Cmanager_id에 대한 UNIQUE 제약 조건
Dmanager_id에 대한 GROUP BY

17.컴퓨터 네트워크보통

TLS는 일반적으로 비대칭 암호와 대칭 암호를 어떻게 사용합니까?

A대칭 방식으로 키를 합의하고 인증하며, 비대칭 암호로 모든 데이터를 암호화한다
B비대칭 방식으로 키를 합의하고 인증하며, 대칭 암호로 데이터를 암호화한다
C고정된 공유 비밀번호와 함께 대칭 암호만 사용한다
D전 과정에서 비대칭 암호만 사용한다

18.컴퓨터 네트워크어려움

서버의 개인 키가 1년 후에 도난당합니다. 오늘 기록된 세션을 안전하게 지켜 주는 TLS 속성은 무엇입니까?

A암호화 전에 데이터 압축
B인증서를 두 번 전송
C더 긴 도메인 이름 사용
D임시(ephemeral) 디피-헬먼 키 교환에 의한 순방향 비밀성(forward secrecy)

19.IPv4 서브네팅보통

네트워크 192.168.10.0/24를 크기가 같은 서브넷 30개 이상으로 나누어야 합니다. 가능한 한 적은 비트를 빌리면 각 서브넷에서 사용 가능한 호스트 H는 몇 개일까요?

192.168.10.0/2430 subnets

H =

20.IPv4 서브네팅어려움

네트워크 192.168.13.0/24을 다음 LAN들을 위해 VLSM으로 나눕니다: A: 13 호스트, B: 94 호스트, C: 6 호스트, D: 51 호스트. 서브넷은 .0부터 위로, 호스트가 가장 많은 LAN부터, 각각 들어맞는 가장 작은 서브넷으로 할당합니다. LAN C의 네트워크 주소의 네 번째 옥텟 x는 얼마일까요?

A: 13B: 94C: 6D: 51

x =

3용액

1.진법

답: U = 186

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

반전하고 1 더하기

70 = 0100 0110

반전 후: 1011 1001

+1 → 1011 1010

부호 없는 수로 읽기

1011 1010₂ = 256 − 70 = 186

답

U = 186

2.진법

답: M = 1800 KiB

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

비트와 바이트

1280·720·16 = 14745600 bit = 1843200 B

KiB로 변환

1843200/1024 = 1800 KiB

답

M = 1800 KiB

3.명제논리와 증명

답: 우연명제

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

행별 진리표

p = 1, r = 1: r ∧ p = 1, r → (r ∧ p) = 1

p = 1, r = 0: r ∧ p = 0, r → (r ∧ p) = 1

p = 0, r = 1: r ∧ p = 0, r → (r ∧ p) = 0

p = 0, r = 0: r ∧ p = 0, r → (r ∧ p) = 1

분류

r → (r ∧ p): 1, 1, 0, 1

4개 행 중 3개 행에서는 1이고 나머지에서는 0입니다: 우연 명제(contingency).

답

우연명제

4.명제논리와 증명

답: N = 14

진리표: 서로 다른 변수가 n개인 식은 참값(1 = 참, 0 = 거짓)의 모든 조합마다 하나씩 2ⁿ개의 행을 가집니다. 안쪽부터 바깥쪽으로 작업하고 모든 부분식에 각각 열을 주세요. ¬a는 값을 뒤집습니다. a ∧ b는 둘 다 1일 때만 1입니다. a ∨ b는 둘 다 0일 때만 0입니다. a → b는 a = 1이고 b = 0일 때만 0입니다. a ↔ b는 양쪽이 같을 때 1입니다.

열

¬b; d ↔ ¬b; c → a; (d ↔ ¬b) → (c → a)

a을(를) 기준으로 나누기

a = 1: 8

a = 0: 6

N = 8 + 6 = 14

답

N = 14

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 2

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

1 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

B′C

A′C′

최소 SOP 형태

F = B′C + A′C′

N = 2

답

N = 2

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 8

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

BC, A′C′D′, ACD, A′B

최소 덮개

F = BC + A′C′D′ + ACD

L = 8

답

L = 8

7.정수론과 모듈러 연산

답: 76⁻¹ mod 83 = 71

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

확장 유클리드 알고리즘

각 나머지 r은 r ≡ t·76 (mod 83)로 쓸 수 있습니다.

r = 83, t = 0

r = 76, q = 1, t = 1

r = 7, q = 10, t = −1

r = 6, q = 1, t = 11

r = 1, q = 6, t = −12

역행렬

1 ≡ −12·76 (mod 83)

x = 71

검산: 76·71 = 5396 = 65·83 + 1

답

76⁻¹ mod 83 = 71

8.정수론과 모듈러 연산

답: N = 2

gcd로 나누기

gcd(14, 30) = 2

7x ≡ 5 (mod 15)

줄인 합동식 풀기

7⁻¹ ≡ 13 (mod 15) → x ≡ 5 (mod 15)

30을(를) 법으로 한 해

x ∈ {5, 20}

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

홀수 정점

C, E → 2

오일러 경로, 회로 없음

답

오일러 경로, 회로 없음

오일러 경로는 한 홀수 정점에서 시작해 다른 홀수 정점에서 끝납니다.

14.그래프 이론

답: W = 52

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

DF (3): 선택

CE (4): 선택

BC (8): 선택

BD (9): 선택

DE (10): 건너뜀, 사이클이 생김

GE (11): 선택

D · 임시(ephemeral) 디피-헬먼 키 교환에 의한 순방향 비밀성(forward secrecy)

19.IPv4 서브네팅

답: H = 6

IPv4 서브네팅: 주소는 32비트입니다. 접두사 /p는 앞의 몇 비트가 네트워크를 나타내는지를 말하고, 나머지 32 − p비트로 호스트 번호를 매깁니다. 서브넷에는 주소가 2³²⁻ᵖ개 있지만 첫 주소(네트워크 주소)와 마지막 주소(브로드캐스트 주소)는 호스트에 줄 수 없어 호스트 2³²⁻ᵖ − 2개가 들어갑니다. 예외: /31(점대점 링크, RFC 3021)은 주소 2개를 모두 호스트에 쓰고, /32는 단일 주소(단일 호스트 또는 루프백)입니다.

빌릴 비트 수

2⁵ = 32 ≥ 30 → b = 5, /29

서브넷당 호스트 수

2³ − 2 = 6

답

H = 6

20.IPv4 서브네팅

답: x = 208

VLSM: 각 LAN은 2ʰ − 2 ≥ 호스트 수인 가장 작은 서브넷, 즉 접두사 32 − h를 받습니다. 가장 큰 서브넷부터 할당하면 모든 블록이 자기 크기의 배수에 정렬되므로, 네트워크 주소는 블록 크기를 더해 나가면 나옵니다.

LAN별 블록 크기

B: 94 호스트 → 2⁷ = 128 (/25)

D: 51 호스트 → 2⁶ = 64 (/26)

A: 13 호스트 → 2⁴ = 16 (/28)

C: 6 호스트 → 2³ = 8 (/29)

큰 것부터 할당

B: .0 – .127

D: .128 – .191

A: .192 – .207

C: .208 – .215

답

x = 208

LAN C: 192.168.13.208/29.

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