컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 2의 보수로 −45을 저장하도록 비트를 설정하세요. 부호 없는 수로 읽으면 패턴의 값 U은 얼마입니까?

N = −458 bit

U =

2.진법어려움

0100 1111 XOR 0110 1111의 8비트 결과가 되도록 비트를 설정하세요. 결과의 값 R은 십진수로 얼마입니까?

0100 1111XOR0110 1111

R =

3.명제논리와 증명보통

(r → q) → (q → (r ∨ p))의 진리표 8개 행 중 몇 개에서 참인가? 이 수를 N(이)라 하자.

(r → q) → (q → (r ∨ p))

N =

4.명제논리와 증명어려움

진리표의 16개 행 중 몇 개에서 (s ∧ (r ∨ p)) ∨ ¬(¬r ∨ q)이(가) 참인가? 이 수를 N(이)라 하자.

(s ∧ (r ∨ p)) ∨ ¬(¬r ∨ q)

N =

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

F = A′BC′ + A′BC + ABC′을(를) 최소 곱의 합 형태로 간소화하시오. 간소화한 식에는 리터럴이 몇 개(L) 있는가?

F = A′BC′ + A′BC + ABC′

L =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15) + d(1, 3, 13)의 최소 SOP 형태를 구하시오. 리터럴은 몇 개(L)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15) + d(1, 3, 13)

L =

7.정수론과 모듈러 연산보통

13을(를) 법으로 하는 8의 역원, 곧 0 < x < 13이고 8·x ≡ 1 (mod 13)인 수 x을(를) 구하시오.

a = 8n = 13

8⁻¹ mod 13 =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

RSA 키가 소수 p = 17, q = 37과 공개 지수 e = 5를 쓴다. 개인 지수 d(0 < d < φ(n))을(를) 구하시오.

p = 17q = 37e = 5

d =

9.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = 2T(n/2) + O(1)의 해는 무엇입니까?

AO(n log n)
BO(n²)
CO(n)
DO(log n)

10.알고리즘과 복잡도어려움

정지 문제(halting problem)가 보여 주는 것은 무엇입니까?

A모든 프로그램은 결국 정지한다
B모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다
C루프는 피해야 한다
D일부 프로그램은 더 빠른 컴퓨터에서 더 빨리 실행되므로 정지 여부는 하드웨어에 달려 있다

11.자료구조보통

이진 트리의 루트는 1이고 왼쪽 자식은 2, 오른쪽 자식은 3입니다. 노드 2의 자식은 4(왼쪽)와 5(오른쪽)입니다. 전위 순회 결과는 무엇입니까?

A4 2 5 1 3
B4 5 2 3 1
C1 2 3 4 5
D1 2 4 5 3

12.자료구조어려움

레드-블랙 트리가 반드시 만족해야 하는 성질은 무엇입니까?

A루트는 빨간색이어야 한다
B모든 빨간 노드의 자식은 빨간색이어야 하므로 빨간 노드가 리프까지 끊기지 않는 사슬을 이룬다
C모든 노드는 빨간색이어야 한다
D한 노드에서 그 자손 리프까지의 모든 경로에 있는 검은 노드의 수가 같다

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 5|E| = 5

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F

d(F) =

15.데이터베이스와 SQL보통

ROLLBACK TO SAVEPOINT s1은 무엇을 합니까?

A트랜잭션 전체를 처음부터 취소한다
B세이브포인트 s1 이후의 변경을 취소하고 트랜잭션은 열어 둔다
C트랜잭션을 끝내고 모든 것을 커밋한다
D세이브포인트와 그 이후 변경된 모든 테이블을 삭제한다

16.데이터베이스와 SQL어려움

더티 리드는 방지하지만 반복 불가능한 읽기(non-repeatable read)는 여전히 허용하는 격리 수준은 무엇입니까?

ARead committed
BRead uncommitted
CRepeatable read
DSerializable

17.컴퓨터 네트워크보통

브라우저가 HTTP 상태 코드 404를 받습니다. 이것은 무엇을 의미합니까?

A클라이언트가 먼저 로그인해야 한다
B요청이 성공했다
C서버에 내부 오류가 발생했다
D요청한 리소스를 찾을 수 없다

18.컴퓨터 네트워크어려움

IPv6에서의 단편화는 IPv4와 어떻게 다릅니까?

AIPv6는 576바이트보다 큰 패킷을 허용하지 않는다
BIPv6 라우터는 64바이트보다 큰 모든 패킷을 경로로 전달하기 전에 단편화한다
C라우터는 IPv6 패킷을 결코 단편화하지 않으며, 경로 MTU 탐색을 이용해 출발지만 단편화할 수 있다
DIPv6는 전송 계층의 TCP 내부에서 단편화한다

19.IPv4 서브네팅보통

네트워크 192.168.10.0/24를 크기가 같은 서브넷 5개 이상으로 나누어야 합니다. 가능한 한 적은 비트를 빌리면 각 서브넷에서 사용 가능한 호스트 H는 몇 개일까요?

192.168.10.0/245 subnets

H =

20.IPv4 서브네팅어려움

어떤 호스트의 주소가 10.20.40.117/28입니다. 그 서브넷에서 마지막으로 사용 가능한 호스트 주소의 네 번째 옥텟 x는 얼마일까요?

10.20.40.117/28

x =

3용액

1.진법

답: U = 211

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

반전하고 1 더하기

45 = 0010 1101

반전 후: 1101 0010

+1 → 1101 0011

부호 없는 수로 읽기

1101 0011₂ = 256 − 45 = 211

답

U = 211

2.진법

답: R = 32

비트별로

XOR은 두 비트가 다른 곳에서 1입니다.

0100 1111

XOR 0110 1111

= 0010 0000

결과의 값

0010 0000₂ = 32

답

R = 32

3.명제논리와 증명

답: N = 7

진리표: 서로 다른 변수가 n개인 식은 참값(1 = 참, 0 = 거짓)의 모든 조합마다 하나씩 2ⁿ개의 행을 가집니다. 안쪽부터 바깥쪽으로 작업하고 모든 부분식에 각각 열을 주세요. ¬a는 값을 뒤집습니다. a ∧ b는 둘 다 1일 때만 1입니다. a ∨ b는 둘 다 0일 때만 0입니다. a → b는 a = 1이고 b = 0일 때만 0입니다. a ↔ b는 양쪽이 같을 때 1입니다.

행별 진리표

p = 1, q = 1, r = 1: r → q = 1, r ∨ p = 1, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) → (q → (r ∨ p)) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r → q = 1, r ∨ p = 1, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) → (q → (r ∨ p)) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: r → q = 0, r ∨ p = 1, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) → (q → (r ∨ p)) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: r → q = 1, r ∨ p = 1, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) → (q → (r ∨ p)) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: r → q = 1, r ∨ p = 1, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) → (q → (r ∨ p)) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: r → q = 1, r ∨ p = 0, q → (r ∨ p) = 0, (r → q) → (q → (r ∨ p)) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: r → q = 0, r ∨ p = 1, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) → (q → (r ∨ p)) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: r → q = 1, r ∨ p = 0, q → (r ∨ p) = 1, (r → q) → (q → (r ∨ p)) = 1

값이 1인 행의 수 세기

(r → q) → (q → (r ∨ p)): 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1

N = 7

답

N = 7

4.명제논리와 증명

답: N = 8

열

r ∨ p; s ∧ (r ∨ p); ¬r; ¬r ∨ q; ¬(¬r ∨ q); (s ∧ (r ∨ p)) ∨ ¬(¬r ∨ q)

p을(를) 기준으로 나누기

p = 1: 5

p = 0: 3

N = 5 + 3 = 8

답

N = 8

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 4

불 대수: 식을 간소화하는 규칙은 X + X′ = 1과 X·X′ = 0, X + X = X, 흡수 법칙 X + X·Y = X, 결합 규칙 X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y, 그리고 합의 정리 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z입니다. 드모르간 법칙은 (X·Y)′를 X′ + Y′로, (X + Y)′를 X′·Y′로 바꿉니다. 카르노 맵은 이 규칙들을 그림으로 적용합니다. 이웃한 두 칸의 그룹은 모두 XY + XY′ = X를 한 번 쓴 것입니다.

식의 최소항

A′BC′ → m(2)

A′BC → m(3)

ABC′ → m(6)

묶어서 읽기

F = BC′ + A′B

리터럴 세기

L = 4

답

L = 4

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 6

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

C′D′, CD, B′D, B′C′, A′D′, AD, A′C, AC′, A′B′

최소 덮개

F = C′D′ + AD + A′C

L = 6

답

L = 6

같은 크기의 다른 묶음도 있으며, 항과 리터럴의 수는 같습니다.

7.정수론과 모듈러 연산

답: 8⁻¹ mod 13 = 5

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

확장 유클리드 알고리즘

각 나머지 r은 r ≡ t·8 (mod 13)로 쓸 수 있습니다.

r = 13, t = 0

r = 8, q = 1, t = 1

r = 5, q = 1, t = −1

r = 3, q = 1, t = 2

r = 2, q = 1, t = −3

r = 1, q = 2, t = 5

역행렬

1 ≡ 5·8 (mod 13)

x = 5

검산: 8·5 = 40 = 3·13 + 1

답

8⁻¹ mod 13 = 5

8.정수론과 모듈러 연산

답: d = 461

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

법과 오일러 피 함수 값

n = 17·37 = 629

φ(n) = 16·36 = 576

확장 유클리드 알고리즘

r = 576, t = 0

r = 5, q = 115, t = 1

r = 1, q = 5, t = −115

개인 지수

d = 461

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

홀수 정점

C, D → 2

오일러 경로, 회로 없음

답

오일러 경로, 회로 없음

오일러 경로는 한 홀수 정점에서 시작해 다른 홀수 정점에서 끝납니다.

14.그래프 이론

답: d(F) = 24

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 9

B (9): C: 16, D: 20, G: 23

C (16): G: 22

D (20): F: 24

G (22): E: 35

F (24)

E (35)

최단 경로

A → B → D → F

빌릴 비트 수

2³ = 8 ≥ 5 → b = 3, /27

서브넷당 호스트 수

2⁵ − 2 = 30

답

H = 30

20.IPv4 서브네팅

답: x = 126

블록 크기

2⁴ = 16

이 호스트의 서브넷

네트워크: ⌊117/16⌋·16 = 112

브로드캐스트: 112 + 16 − 1 = 127

사용 가능한 호스트: 113 … 126

답

x = 126

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