컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

−52를 8비트 2의 보수 패턴으로 쓰세요. 그 패턴을 부호 없는 2진수로 읽으면 10진수 값 U는 얼마일까요?

N = −528 bit

U =

2.진법어려움

16비트 2의 보수로 저장할 수 있는 가장 작은(가장 음수인) 정수 N는 얼마일까요?

16 bit

N =

3.명제논리와 증명보통

b → (c ∧ a)을(를) 귀류법으로 증명하려 한다. 처음에 어떤 문장을 가정해야 하는가? 클릭하세요.

b → (c ∧ a)

1¬b ∧ ¬(c ∧ a)
2¬b ∧ (c ∧ a)
3¬b → ¬(c ∧ a)
4b ∧ ¬(c ∧ a)

4.명제논리와 증명어려움

전제 p → r; q → r과(와) 결론 p → q을(를) 가진 논증은 타당하지 않다. 반례가 되는 진리표의 행을 클릭하세요.

p → rq → r∴ p → q

1p = 1, q = 1, r = 1
2p = 1, q = 1, r = 0
3p = 1, q = 0, r = 1
4p = 1, q = 0, r = 0
5p = 0, q = 1, r = 1
6p = 0, q = 1, r = 0
7p = 0, q = 0, r = 1
8p = 0, q = 0, r = 0

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

F = BC + A′C + A′BC을(를) 최소 곱의 합 형태로 간소화하시오. 간소화한 식에는 리터럴이 몇 개(L) 있는가?

F = BC + A′C + A′BC

L =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

상승 에지 트리거 JK 플립플롭이 Q = 0에서 시작하여 그림의 입력을 받는다. Q가 1에서 0으로 처음 돌아오는 클록 에지를 클릭하세요.

Q₀ = 0JK

1클록 에지 1
2클록 에지 2
3클록 에지 3
4클록 에지 4
5클록 에지 5
6클록 에지 6
7클록 에지 7

7.정수론과 모듈러 연산보통

74x ≡ 24 (mod 79)을(를) 푸시오. 0 < x < 79인 해 x을(를) 구하시오.

74x ≡ 24 (mod 79)

x =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

44x ≡ 40 (mod 48)을(를) 푸시오. 가장 작은 양의 해 x을(를) 구하시오.

44x ≡ 40 (mod 48)

x =

9.알고리즘과 복잡도보통

O(n²) 알고리즘이 O(n³)이기도 하다고 말하는 것은 옳습니까?

A아니요, Big O는 함수의 정확한 증가율을 항상 나타내야 하기 때문에
B예, 단 n이 100보다 작을 때만
C예, Big O는 상한이고 n²은 n³보다 빠르게 증가하지 않기 때문에
D아니요, 큰 n에서 n³이 n²보다 작기 때문에

10.알고리즘과 복잡도어려움

슈트라센 알고리즘은 절반 크기 블록의 재귀 곱셈을 8번 대신 7번 사용하여 행렬을 곱합니다. 실행 시간은 얼마입니까?

AΘ(n^{log₂ 7}), 약 n^2.81
BΘ(n³)
CΘ(n²)
DΘ(n² log n)

11.자료구조보통

이진 탐색 트리에서 최소 키는 어떻게 찾습니까?

A루트에서 오른쪽 자식이 없을 때까지 오른쪽 자식을 따라간다
B모든 리프를 방문하여 비교한다
C루트만 본다
D루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다

12.자료구조어려움

모든 B-트리를 완벽하게 균형 잡힌 상태로 유지하는 성질은 무엇입니까?

A키는 루트에만 저장된다
B모든 리프가 같은 깊이에 있다
C각 노드가 키를 하나 저장한다
D모든 노드의 자식이 정확히 두 개이다

13.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 7|E| = 11

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

14.그래프 이론어려움

프림 알고리즘이 정점 E에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 5번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Ek = 5

1간선 AB
2간선 AC
3간선 BC
4간선 BD
5간선 CE
6간선 DE
7간선 DF
8간선 EF
9간선 BE

15.데이터베이스와 SQL보통

열에 인덱스를 생성하는 이유는 무엇입니까?

ANULL 값을 방지하기 위해
B해당 열에 대한 검색과 조인 속도를 높이기 위해
C디스크 공간을 절약하기 위해
D해당 열에 대한 삽입과 갱신 속도를 높이기 위해

16.데이터베이스와 SQL어려움

테이블 b의 열 y에는 값 1, 2, NULL이 있습니다. SELECT * FROM a WHERE x NOT IN (SELECT y FROM b)는 무엇을 반환합니까?

A아무 행도 반환하지 않는다
Ba의 모든 행
Cx가 NULL인 a의 행만
Dx가 1이나 2가 아닌 a의 행

17.컴퓨터 네트워크보통

10.1.2.3과 같은 /16 서브넷에 있는 호스트는 무엇입니까?

A10.2.2.3
B10.0.2.3
C10.1.200.5
D11.1.2.3

18.컴퓨터 네트워크어려움

IPv6가 주소 부족 문제를 해결하기 위해 NAT를 필요로 하지 않는 이유는 무엇입니까?

AIPv6는 주소를 사용하지 않기 때문
BIPv6는 로컬 네트워크에서만 동작하므로 주소를 전역적으로 공유할 필요가 없기 때문
CIPv6는 모든 주소를 암호화하기 때문
D128비트 주소 공간이 모든 장치에 전역 주소를 부여할 만큼 충분히 크기 때문

19.IPv4 서브네팅보통

어느 부서가 한 서브넷에 호스트 주소 830개가 필요합니다. 충분한 가장 긴 접두사 길이 p(가장 작은 서브넷)는 얼마일까요?

830 hosts

p =

20.IPv4 서브네팅어려움

어떤 호스트의 주소가 10.20.14.79/30입니다. 그 네트워크 주소의 네 번째 옥텟 x는 얼마일까요?

10.20.14.79/30

x =

3용액

1.진법

답: U = 204

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

반전하고 1 더하기

52 = 0011 0100

반전 후: 1100 1011

+1 → 1100 1100

부호 없는 수로 읽기

1100 1100₂ = 256 − 52 = 204

답

U = 204

2.진법

답: N = −32768

가장 음수인 값

−2¹⁵ = −32768

답

N = −32768

3.명제논리와 증명

답: b ∧ ¬(c ∧ a)

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

함의의 부분

a = b, b = c ∧ a

함의의 부정

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = b ∧ ¬(c ∧ a)

답

b ∧ ¬(c ∧ a)

가정이 모순으로 이어지면 그 함의는 참이어야 합니다.

4.명제논리와 증명

답: p = 1, q = 0, r = 1

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

행별 전제와 결론

p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 1, q = 1, r = 0: 0 0 | 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 1 | 0

p = 1, q = 0, r = 0: 0 1 | 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 1 | 1

p = 0, q = 1, r = 0: 1 0 | 1

p = 0, q = 0, r = 1: 1 1 | 1

p = 0, q = 0, r = 0: 1 1 | 1

반례

p = 1, q = 0, r = 1

답

p = 1, q = 0, r = 1

이런 형식의 논증은 타당한 규칙처럼 보이지만, 행 하나만으로 그렇지 않음을 보일 수 있습니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: L = 4

불 대수: 식을 간소화하는 규칙은 X + X′ = 1과 X·X′ = 0, X + X = X, 흡수 법칙 X + X·Y = X, 결합 규칙 X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y, 그리고 합의 정리 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z입니다. 드모르간 법칙은 (X·Y)′를 X′ + Y′로, (X + Y)′를 X′·Y′로 바꿉니다. 카르노 맵은 이 규칙들을 그림으로 적용합니다. 이웃한 두 칸의 그룹은 모두 XY + XY′ = X를 한 번 쓴 것입니다.

식의 최소항

BC → m(3, 7)

A′C → m(1, 3)

A′BC → m(3)

묶어서 읽기

F = BC + A′C

리터럴 세기

L = 4

답

L = 4

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: 클록 에지 3

플립플롭과 카운터: 플립플롭은 클록의 활성 에지에서만 바뀝니다. D는 입력을 복사합니다(Q⁺ = D). T는 T = 1이면 토글합니다. JK는 00이면 유지, 01이면 리셋, 10이면 셋, 11이면 토글합니다. n비트 이진 카운터는 상태가 2ⁿ개이고 2ⁿ을 법으로 세며, mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가고 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n개의 플립플롭이 필요합니다. 리플 카운터는 단마다 주파수가 절반이 되므로 mod-N 카운터의 마지막 출력은 f_clk/N으로 동작합니다. 플립플롭 n개의 존슨 카운터는 상태가 2n개, 링 카운터는 n개입니다.

에지마다의 Q

JK 플립플롭: 00은 유지, 01은 리셋(Q = 0), 10은 셋(Q = 1), 11은 토글.

1: J = 0, K = 0 → Q = 0

2: J = 1, K = 0 → Q = 1

3: J = 0, K = 1 → Q = 0

4: J = 0, K = 1 → Q = 0

5: J = 1, K = 1 → Q = 1

6: J = 1, K = 0 → Q = 1

7: J = 1, K = 0 → Q = 1

1에서 0으로의 첫 변화

클록 에지 3

답

클록 에지 3

7.정수론과 모듈러 연산

답: x = 11

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

74의 역원

r = 79, t = 0

r = 74, q = 1, t = 1

r = 5, q = 14, t = −1

r = 4, q = 1, t = 15

r = 1, q = 4, t = −16

74⁻¹ ≡ 63 (mod 79)

풀기

x ≡ 63·24 = 1512 ≡ 11 (mod 79)

검산: 74·11 = 814 ≡ 24 (mod 79)

답

x = 11

8.정수론과 모듈러 연산

답: x = 2

gcd로 나누기

gcd(44, 48) = 4

11x ≡ 10 (mod 12)

줄인 합동식 풀기

11⁻¹ ≡ 11 (mod 12) → x ≡ 2 (mod 12)

48을(를) 법으로 한 해

x ∈ {2, 14, 26, 38}

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

홀수 정점

A, B → 2

오일러 경로, 회로 없음

답

오일러 경로, 회로 없음

오일러 경로는 한 홀수 정점에서 시작해 다른 홀수 정점에서 끝납니다.

14.그래프 이론

답: 간선 DF

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. DE (8)

2. BD (7)

3. AB (6)

4. CE (9)

5. DF (11)

IPv6에는 약 3.4 × 10³⁸개의 주소가 있으므로 IPv4에서 NAT를 필요하게 만든 주소 부족 문제가 사라집니다. 보안은 여전히 방화벽이 담당합니다.

답

D · 128비트 주소 공간이 모든 장치에 전역 주소를 부여할 만큼 충분히 크기 때문

19.IPv4 서브네팅

답: p = 22

IPv4 서브네팅: 주소는 32비트입니다. 접두사 /p는 앞의 몇 비트가 네트워크를 나타내는지를 말하고, 나머지 32 − p비트로 호스트 번호를 매깁니다. 서브넷에는 주소가 2³²⁻ᵖ개 있지만 첫 주소(네트워크 주소)와 마지막 주소(브로드캐스트 주소)는 호스트에 줄 수 없어 호스트 2³²⁻ᵖ − 2개가 들어갑니다. 예외: /31(점대점 링크, RFC 3021)은 주소 2개를 모두 호스트에 쓰고, /32는 단일 주소(단일 호스트 또는 루프백)입니다.

필요한 호스트 비트

2⁹ − 2 = 510 < 830

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 830 → h = 10

접두사 길이

p = 32 − 10 = 22

답

p = /22

20.IPv4 서브네팅

답: x = 76

블록 크기

2² = 4

이 호스트의 서브넷

네트워크: ⌊79/4⌋·4 = 76

브로드캐스트: 76 + 4 − 1 = 79

사용 가능한 호스트: 77 … 78

답

x = 76

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals