컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 패턴 1101 0010는 부호 있는 정수를 2의 보수로 저장합니다. 10진수 값 N는 얼마일까요?

1101 00108 bit

N =

2.진법어려움

10비트 2의 보수로 저장할 수 있는 가장 작은(가장 음수인) 정수 N는 얼마일까요?

10 bit

N =

3.명제논리와 증명보통

q ↔ p와(과) 논리적으로 동치인 식은 어느 것인가? 클릭하세요.

q ↔ p

1q ∧ p
2(q → p) ∧ (¬p → ¬q)
3(q → p) ∧ (p → q)
4(q → p) ∨ (p → q)

4.명제논리와 증명어려움

부정을 가장 안쪽까지 옮긴 ¬∃x (P(x) ∧ Q(x))와(과) 동치인 문장은 어느 것인가? 클릭하세요.

¬∃x (P(x) ∧ Q(x))

1∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))
2∀x (P(x) → ¬Q(x))
3∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
4∀x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 8, 10, 11, 12)의 최소 합의 곱(POS) 형태를 구하시오. 합항(인수)은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 8, 10, 11, 12)

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

d가 무정의항을 나타낼 때 F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 6, 11, 14, 15) + d(7, 10)의 필수 소 임플리컨트의 개수 N을(를) 구하시오.

F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 6, 11, 14, 15) + d(7, 10)

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

11x ≡ 6 (mod 19)을(를) 푸시오. 0 < x < 19인 해 x을(를) 구하시오.

11x ≡ 6 (mod 19)

x =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

10x ≡ 40 (mod 75)을(를) 푸시오. 가장 작은 양의 해 x을(를) 구하시오.

10x ≡ 40 (mod 75)

x =

9.알고리즘과 복잡도보통

도달 가능한 기저 사례가 없는 재귀 함수에 대한 진술 중 옳은 것은 무엇입니까?

A자동으로 0을 반환한다
B컴파일러가 항상 안전하게 끝나는 루프로 바꾼다
C호출 스택이 넘칠 때까지 계속 자신을 호출한다
DO(1) 시간에 실행된다

10.알고리즘과 복잡도어려움

정점 V개, 간선 E개인 그래프에서 이진 힙을 사용한 다익스트라 알고리즘의 실행 시간은 얼마입니까?

AO((V + E) log V)
BO(V + E)
CO(V × E)
DO(V³)

11.자료구조보통

트라이(접두사 트리)는 특히 어떤 작업에 효율적입니까?

A행렬 저장
B자동 완성과 같은 접두사 검색
C숫자 정렬
D최단 경로 찾기

12.자료구조어려움

데이터베이스와 파일 시스템에서 B-트리를 사용하는 이유는 무엇입니까?

A어떤 배열보다도 메모리를 적게 써서 전체 인덱스가 항상 주기억장치에 들어가기 때문이다
B재균형이 필요 없기 때문이다
C데이터를 정렬하지 않고 저장하기 때문이다
D높은 분기 계수로 트리를 얕게 유지하여 느린 디스크 읽기를 줄이기 때문이다

13.그래프 이론보통

완전그래프 K₅의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₅

H =

14.그래프 이론어려움

E에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 3의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3

N =

15.데이터베이스와 SQL보통

customers 테이블에서 서로 다른 도시의 수를 반환하는 쿼리는 무엇입니까?

ASELECT COUNT(city) FROM customers GROUP BY city
BSELECT DISTINCT COUNT(city) FROM customers
CSELECT COUNT(DISTINCT city) FROM customers
DSELECT SUM(DISTINCT city) FROM customers

16.데이터베이스와 SQL어려움

SELECT day, SUM(amount) OVER (ORDER BY day) FROM sales는 무엇을 계산합니까?

A날짜별 평균 amount
B그날의 합계만 담은 날짜별 한 행
Cday 순서로 정렬한 amount의 누적 합계
D모든 행에 대해 전체 amount의 합계

17.컴퓨터 네트워크보통

/20에 해당하는 서브넷 마스크는 무엇입니까?

A255.255.248.0
B255.255.240.0
C255.255.224.0
D255.255.255.240

18.컴퓨터 네트워크어려움

디피-헬먼 키 교환은 그 자체로 무엇을 달성하며, 약점은 무엇입니까?

A공개 채널에서 대량의 데이터를 직접 암호화하지만, 큰 파일과 영상에는 너무 느리다
B비밀번호로 두 사용자를 인증하지만, 중앙 서버가 필요하다
C웹사이트 인증서에 서명하지만, 짧은 키에서만 동작한다
D공개 채널에서 공유 비밀을 합의하지만, 단독으로는 중간자 공격에 취약하다

19.IPv4 서브네팅보통

한 서브넷이 마스크 255.255.252.0을 씁니다. 사용 가능한 호스트 주소 H는 몇 개일까요?

255.255.252.0

H =

20.IPv4 서브네팅어려움

어떤 호스트의 주소가 10.20.138.224/29입니다. 그 서브넷에서 마지막으로 사용 가능한 호스트 주소의 네 번째 옥텟 x는 얼마일까요?

10.20.138.224/29

x =

3용액

1.진법

답: N = −46

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

자리값 더하기

나머지 비트는 원래의 양의 자리값을 유지합니다.

−128 + 64 + 16 + 2 = −46

답

N = −46

2.진법

답: N = −512

가장 음수인 값

−2⁹ = −512

답

N = −512

3.명제논리와 증명

답: (q → p) ∧ (p → q)

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

법칙

a ↔ b는 함의가 양방향으로 성립한다는 뜻입니다: (a → b) ∧ (b → a).

q ↔ p ≡ (q → p) ∧ (p → q)

진리표로 확인

p = 1, q = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0: 0 | 0 1 0 1

p = 0, q = 1: 0 | 0 0 0 1

p = 0, q = 0: 1 | 0 1 1 1

답

(q → p) ∧ (p → q)

막대 뒤의 열은 보기를 표시된 순서대로 나타낸 것입니다.

4.명제논리와 증명

답: ∀x (P(x) → ¬Q(x))

한정자와 논증: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). 부정을 안쪽으로 옮기고, 지나가는 모든 한정자를 바꾸고, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b 같은 명제 논리 법칙으로 안쪽 식을 부정하세요. 모든 전제가 1인 모든 행에서 결론이 1이면 논증이 타당합니다. 전제는 참인데 결론이 거짓인 행이 하나라도 있으면 그것이 반례이며 그 논증은 타당하지 않음을 보여 줍니다.

부정을 안쪽으로 옮기기

¬∃x (P(x) ∧ Q(x)) ≡ ∀x (P(x) → ¬Q(x))

답

∀x (P(x) → ¬Q(x))

다른 보기는 한정자를 그대로 두거나, 한정자의 순서를 바꾸거나, 안쪽 식을 잘못 부정한 것입니다.

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 4

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

0 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

(B′ + C′)

(A + C′)

(A′ + C + D′)

(A + B′ + D)

최소 POS 형태

F = (B′ + C′)(A + C′)(A′ + C + D′)(A + B′ + D)

N = 4

답

N = 4

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 3

소 임플리컨트

1과 X로 만들 수 있는 가장 큰 그룹들.

CD, BC, AC, A′BD

필수 소 임플리컨트

CD, BC, A′BD

N = 3

답

N = 3

7.정수론과 모듈러 연산

답: x = 4

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

11의 역원

r = 19, t = 0

r = 11, q = 1, t = 1

r = 8, q = 1, t = −1

r = 3, q = 2, t = 2

r = 2, q = 1, t = −5

r = 1, q = 2, t = 7

11⁻¹ ≡ 7 (mod 19)

풀기

x ≡ 7·6 = 42 ≡ 4 (mod 19)

검산: 11·4 = 44 ≡ 6 (mod 19)

답

x = 4

8.정수론과 모듈러 연산

답: x = 4

gcd로 나누기

gcd(10, 75) = 5

2x ≡ 8 (mod 15)

줄인 합동식 풀기

2⁻¹ ≡ 8 (mod 15) → x ≡ 4 (mod 15)

75을(를) 법으로 한 해

x ∈ {4, 19, 34, 49, 64}

세기

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

답

H = 12

14.그래프 이론

답: N = 4

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 0 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 0 1 0 0 0 0

D · 공개 채널에서 공유 비밀을 합의하지만, 단독으로는 중간자 공격에 취약하다

19.IPv4 서브네팅

답: H = 1022

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

접두사 길이

255.255.252.0 = /22

사용 가능한 호스트

2¹⁰ − 2 = 1022

답

H = 1022

20.IPv4 서브네팅

답: x = 230

IPv4 서브네팅: 주소는 32비트입니다. 접두사 /p는 앞의 몇 비트가 네트워크를 나타내는지를 말하고, 나머지 32 − p비트로 호스트 번호를 매깁니다. 서브넷에는 주소가 2³²⁻ᵖ개 있지만 첫 주소(네트워크 주소)와 마지막 주소(브로드캐스트 주소)는 호스트에 줄 수 없어 호스트 2³²⁻ᵖ − 2개가 들어갑니다. 예외: /31(점대점 링크, RFC 3021)은 주소 2개를 모두 호스트에 쓰고, /32는 단일 주소(단일 호스트 또는 루프백)입니다.

블록 크기

2³ = 8

이 호스트의 서브넷

네트워크: ⌊224/8⌋·8 = 224

브로드캐스트: 224 + 8 − 1 = 231

사용 가능한 호스트: 225 … 230

답

x = 230

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