컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

8비트 2의 보수로 −60을 저장하도록 비트를 설정하세요. 부호 없는 수로 읽으면 패턴의 값 U은 얼마입니까?

N = −608 bit

U =

2.진법어려움

압축하지 않은 이미지가 256 × 256 픽셀이고 픽셀당 24비트입니다. 메모리 M를 몇 KiB(1 KiB = 1024바이트) 차지할까요?

256 × 256 px24 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.명제논리와 증명보통

b ↔ a와(과) 논리적으로 동치인 식은 어느 것인가? 클릭하세요.

b ↔ a

1b ∧ a
2(b → a) ∧ (¬a → ¬b)
3(b → a) ∧ (a → b)
4(b → a) ∨ (a → b)

4.명제논리와 증명어려움

진리표의 16개 행 중 몇 개에서 ((s ↔ q) ∧ q) ∧ ((s → r) → (r → p))이(가) 참인가? 이 수를 N(이)라 하자.

((s ↔ q) ∧ q) ∧ ((s → r) → (r → p))

N =

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

카르노 맵으로 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 7, 13, 14, 15)의 최소 합의 곱(POS) 형태를 구하시오. 합항(인수)은 몇 개(N)인가?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 7, 13, 14, 15)

N =

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

mod-10 카운터를 최소 개수의 플립플롭으로 만들었다. 가능한 상태 중 사용되지 않는 것은 몇 개(U)인가?

N = 10

U =

7.정수론과 모듈러 연산보통

11x ≡ 10 (mod 13)을(를) 푸시오. 0 < x < 13인 해 x을(를) 구하시오.

11x ≡ 10 (mod 13)

x =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

RSA 키가 소수 p = 13, q = 41과 공개 지수 e = 13를 쓴다. 개인 지수 d(0 < d < φ(n))을(를) 구하시오.

p = 13q = 41e = 13

d =

9.알고리즘과 복잡도보통

퀵 정렬이 항상 첫 원소를 피벗으로 사용합니다. 어떤 입력에서 최악의 경우 동작을 보입니까?

A길이가 2인 배열
B이미 정렬된 배열
C원소가 모두 다른 배열
D무작위 순서의 배열

10.알고리즘과 복잡도어려움

새 문제 X가 NP-hard임을 보이려면 무엇을 해야 합니까?

A알려진 NP-hard 문제를 다항 시간에 X로 환원한다
BX를 다항 시간에 검증할 수 있음을 보인다
CX를 다항 시간에 알려진 NP-hard 문제로 환원한다
D작은 입력에서 X에 다항 알고리즘이 없음을 보인다

11.자료구조보통

배열에 저장된 이진 최소 힙(인덱스는 0부터 시작)에서 인덱스 i인 노드의 자식은 어디에 있습니까?

A2i + 1과 2i + 2
B2i와 2i + 1
Ci/2와 i/2 + 1
Di + 1과 i + 2

12.자료구조어려움

n개의 수로 된 배열에 대한 펜윅 트리(Fenwick tree, 이진 인덱스 트리)는 어떤 연산을 O(log n)에 지원합니까?

A접두사 합 질의와 단일 원소 갱신
BO(1)에 중앙값 찾기
C임의 위치에 원소 삽입
D배열 정렬과 이진 탐색

13.그래프 이론보통

완전그래프 K₈의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₈

H =

14.그래프 이론어려움

A에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2

N =

15.데이터베이스와 SQL보통

제2정규형(2NF)이 제거하는 것은 무엇입니까?

A다른 비키 열을 거치는 비키 열 사이의 이행적 종속
B복합 키의 일부에 대한 비키 열의 부분 종속
C모든 NULL 값
D외래 키

16.데이터베이스와 SQL어려움

트랜잭션 T1은 행 A를 잠그고 행 B를 기다리며, T2는 행 B를 잠그고 행 A를 기다립니다. 일반적인 DBMS는 어떻게 합니까?

A두 트랜잭션을 하나로 합친다
B둘 중 하나가 정상적으로 커밋될 때까지 두 트랜잭션이 모두 기다리게 둔다
C교착 상태를 감지하고 한 트랜잭션을 희생자로 중단시킨다
D두 트랜잭션을 동시에 커밋한다

17.컴퓨터 네트워크보통

스위치는 일반적으로 OSI의 어느 계층에서 동작합니까?

A물리(1계층)
B데이터 링크(2계층)
C전송(4계층)
D네트워크(3계층)

18.컴퓨터 네트워크어려움

인터넷에서 BGP의 주된 역할은 무엇입니까?

A이름을 주소로 해석한다
B자율 시스템(AS) 간에 라우팅 정보를 교환한다
C인터넷 사업자를 통해 가정 사용자에게 IP 주소를 할당한다
D라우터 간의 데이터를 암호화한다

19.IPv4 서브네팅보통

어느 부서가 한 서브넷에 호스트 주소 14개가 필요합니다. 충분한 가장 긴 접두사 길이 p(가장 작은 서브넷)는 얼마일까요?

14 hosts

p =

20.IPv4 서브네팅어려움

라우터에 다음 네트워크로의 경로가 있습니다: 10.246.112.0/24, 10.246.113.0/24, 10.246.114.0/24, 10.246.115.0/24, 10.246.116.0/24, 10.246.117.0/24, 10.246.118.0/24, 10.246.119.0/24. 이들을 모두 포함하는 단일 요약 경로의 가장 긴 접두사 길이 p는 얼마일까요?

10.246.112.0/24 … 10.246.119.0/24

p =

3용액

1.진법

답: U = 196

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

반전하고 1 더하기

60 = 0011 1100

반전 후: 1100 0011

+1 → 1100 0100

부호 없는 수로 읽기

1100 0100₂ = 256 − 60 = 196

답

U = 196

2.진법

답: M = 192 KiB

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

비트와 바이트

256·256·24 = 1572864 bit = 196608 B

KiB로 변환

196608/1024 = 192 KiB

답

M = 192 KiB

3.명제논리와 증명

답: (b → a) ∧ (a → b)

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

법칙

a ↔ b는 함의가 양방향으로 성립한다는 뜻입니다: (a → b) ∧ (b → a).

b ↔ a ≡ (b → a) ∧ (a → b)

진리표로 확인

a = 1, b = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 0: 0 | 0 1 0 1

a = 0, b = 1: 0 | 0 0 0 1

a = 0, b = 0: 1 | 0 1 1 1

답

(b → a) ∧ (a → b)

막대 뒤의 열은 보기를 표시된 순서대로 나타낸 것입니다.

4.명제논리와 증명

답: N = 3

진리표: 서로 다른 변수가 n개인 식은 참값(1 = 참, 0 = 거짓)의 모든 조합마다 하나씩 2ⁿ개의 행을 가집니다. 안쪽부터 바깥쪽으로 작업하고 모든 부분식에 각각 열을 주세요. ¬a는 값을 뒤집습니다. a ∧ b는 둘 다 1일 때만 1입니다. a ∨ b는 둘 다 0일 때만 0입니다. a → b는 a = 1이고 b = 0일 때만 0입니다. a ↔ b는 양쪽이 같을 때 1입니다.

열

s ↔ q; (s ↔ q) ∧ q; s → r; r → p; (s → r) → (r → p); ((s ↔ q) ∧ q) ∧ ((s → r) → (r → p))

p을(를) 기준으로 나누기

p = 1: 2

p = 0: 1

N = 2 + 1 = 3

답

N = 3

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 4

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

0 묶기

모든 그룹은 2ᵏ칸의 직사각형입니다. 가장자리 칸은 반대쪽 가장자리의 칸과 이웃합니다.

(B′ + C + D)

(A + C + D′)

(A′ + B)

(A + B′ + D)

최소 POS 형태

F = (B′ + C + D)(A + C + D′)(A′ + B)(A + B′ + D)

N = 4

답

N = 4

같은 크기의 다른 묶음도 있으며, 항과 리터럴의 수는 같습니다.

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: U = 6

플립플롭과 카운터: 플립플롭은 클록의 활성 에지에서만 바뀝니다. D는 입력을 복사합니다(Q⁺ = D). T는 T = 1이면 토글합니다. JK는 00이면 유지, 01이면 리셋, 10이면 셋, 11이면 토글합니다. n비트 이진 카운터는 상태가 2ⁿ개이고 2ⁿ을 법으로 세며, mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가고 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n개의 플립플롭이 필요합니다. 리플 카운터는 단마다 주파수가 절반이 되므로 mod-N 카운터의 마지막 출력은 f_clk/N으로 동작합니다. 플립플롭 n개의 존슨 카운터는 상태가 2n개, 링 카운터는 n개입니다.

플립플롭의 수

2ⁿ ≥ 10 → n = 4 (2⁴ = 16)

사용되지 않는 상태

U = 16 − 10 = 6

답

U = 6

7.정수론과 모듈러 연산

답: x = 8

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

11의 역원

r = 13, t = 0

r = 11, q = 1, t = 1

r = 2, q = 5, t = −1

r = 1, q = 2, t = 6

11⁻¹ ≡ 6 (mod 13)

풀기

x ≡ 6·10 = 60 ≡ 8 (mod 13)

검산: 11·8 = 88 ≡ 10 (mod 13)

답

x = 8

8.정수론과 모듈러 연산

답: d = 37

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

법과 오일러 피 함수 값

n = 13·41 = 533

φ(n) = 12·40 = 480

확장 유클리드 알고리즘

r = 480, t = 0

r = 13, q = 36, t = 1

r = 12, q = 1, t = −36

r = 1, q = 12, t = 37

개인 지수

d = 37

세기

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

답

H = 2520

14.그래프 이론

답: N = 2

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 0 1 1

B · 자율 시스템(AS) 간에 라우팅 정보를 교환한다

19.IPv4 서브네팅

답: p = 28

IPv4 서브네팅: 주소는 32비트입니다. 접두사 /p는 앞의 몇 비트가 네트워크를 나타내는지를 말하고, 나머지 32 − p비트로 호스트 번호를 매깁니다. 서브넷에는 주소가 2³²⁻ᵖ개 있지만 첫 주소(네트워크 주소)와 마지막 주소(브로드캐스트 주소)는 호스트에 줄 수 없어 호스트 2³²⁻ᵖ − 2개가 들어갑니다. 예외: /31(점대점 링크, RFC 3021)은 주소 2개를 모두 호스트에 쓰고, /32는 단일 주소(단일 호스트 또는 루프백)입니다.

필요한 호스트 비트

2³ − 2 = 6 < 14

2⁴ − 2 = 14 ≥ 14 → h = 4

접두사 길이

p = 32 − 4 = 28

답

p = /28

20.IPv4 서브네팅

답: p = 21

경로 요약: 요약 경로 a.b.c.0/p는 처음 p비트가 일치하는 모든 네트워크를 포함합니다. 첫 번째와 마지막 네트워크에서 다른 옥텟을 2진수로 쓰고, 공통 앞쪽 비트 수에 그 앞 옥텟들의 비트를 더하면 가장 긴 요약 접두사가 됩니다.

비트 비교

112 = 01110000

119 = 01110111

공통 앞쪽 비트: 5

접두사 길이

p = 16 + 5 = 21

답

p = /21

요약 경로: 10.246.112.0/21

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