컴퓨터과학 기초: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

진법

자릿값: 2진수 2^k, 8진수 8^k, 16진수 16^k
10진수로: Σ d_k·b^k
10진수에서: 기수로 나누고, 나머지를 아래에서 위로 읽음
16진수 ↔ 2진수: 16진수 한 자리 = 4비트
2의 보수: 비트를 반전하고 1을 더함

명제논리와 증명

진리표의 행 수: 2ⁿ
함의: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
함의의 부정: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
쌍조건: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
드모르간 법칙: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
분배법칙: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
한정자의 부정: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
전건 긍정법, 후건 부정법: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

방법

서로 다른 변수의 개수를 세세요. 진리표는 2ⁿ개의 행을 가지며, 첫 행은 모두 1입니다.
모든 부분식에 각각 열을 하나씩 주고, 안쪽부터 바깥쪽으로 열을 채우세요.
각 연결자의 규칙을 적용하세요. →는 1 → 0일 때만 0이고, ↔는 양쪽이 같을 때 1입니다.
동치는 마지막 열을 행마다 비교하고, 논증은 모든 전제가 1인 행만 살펴보세요.
한정된 문장을 부정하려면 ¬를 안쪽으로 옮기고, ∀와 ∃를 서로 바꾸고, 안쪽 식을 부정하세요.

디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

기본 게이트: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
불 규칙: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
드모르간 법칙: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
카르노 맵의 순서: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ칸의 그룹: 변수 k개를 잃음
4-대-1 멀티플렉서: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
플립플롭: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
카운터: n비트: 2ⁿ개 상태; mod-N: 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n; f_out = f_clk/N
리플 카운터: f_max = 1/(n·t_pd)
링 카운터와 존슨 카운터: 상태 n개와 2n개

방법

회로는 입력에서 출력까지 게이트를 하나씩 따라가며 모든 선에 값을 적거나, 식을 쓰고 진리표를 채우세요.
간소화할 때는 1(그리고 무정의항은 X)을 그레이 코드 행과 열(00, 01, 11, 10)을 가진 카르노 맵에 넣으세요.
1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 가능한 한 적고 큰 그룹으로 덮되 가장자리를 넘어 이어 보세요. 각 그룹은 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. POS 형태는 0들을 묶으세요.
플립플롭과 카운터는 활성 클록 에지마다 입력을 읽고, 에지마다 상태를 적고, n비트 카운터는 2ⁿ개 상태 뒤에 되돌아간다는 것을 기억하세요.

정수론과 모듈러 연산

나머지가 있는 나눗셈: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
유클리드: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
최소공배수: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
역행렬: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
일차 합동식: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
오일러 피 함수: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
페르마: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

방법

먼저 모든 수를 n으로 나눈 나머지로 줄이세요. 나머지는 0부터 n − 1 사이에 있습니다.
최대공약수는 유클리드 호제법으로 계속 나누세요. 0이 아닌 마지막 나머지가 최대공약수입니다.
역원은 확장 알고리즘을 실행해 a의 계수를 취하고, 음수이면 n을 더하세요.
a·x ≡ b는 a⁻¹을 곱해서 풀고, 두 합동식은 x = r₁ + m₁k로 써서 합치세요.
거듭제곱은 지수를 이진수로 쓰고 거듭 제곱하세요. RSA에서는 d = e⁻¹ mod φ(n)이고 φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다.

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

IPv4 서브네팅

서브넷당 호스트 수: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
블록 크기: 256 − (mask octet)
네트워크 주소: IP AND 마스크
브로드캐스트 주소: IP OR (NOT 마스크): 호스트 비트를 모두 1로
n비트를 빌렸을 때의 서브넷 수: 2ⁿ

2연습 문제

1.진법보통

−22를 8비트 2의 보수 패턴으로 쓰세요. 그 패턴을 부호 없는 2진수로 읽으면 10진수 값 U는 얼마일까요?

N = −228 bit

U =

2.진법어려움

1100 1011 >> 3의 8비트 결과가 되도록 비트를 설정하세요. 결과의 값 R은 십진수로 얼마입니까?

1100 1011>> 3

R =

3.명제논리와 증명보통

c → (c ∧ b)은(는) 항진명제, 모순, 우연명제 중 무엇인가? 답을 클릭하세요.

c → (c ∧ b)

1항진명제
2모순
3우연명제

4.명제논리와 증명어려움

진리표의 16개 행 중 몇 개에서 ((a → b) → d) ∧ (c → (a ∨ d))이(가) 참인가? 이 수를 N(이)라 하자.

((a → b) → d) ∧ (c → (a ∨ d))

N =

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭보통

이 카르노 맵에서는 이웃한 1이 없는 1이 정확히 하나 있으며, 최소 SOP 형태에서 한 칸짜리 그룹(리터럴 네 개의 완전한 최소항)으로 남습니다. 맵의 가장자리를 넘어서 이웃한 칸도 센다. 그 칸을 클릭하세요.

F = Σm(1, 3, 4, 5, 7, 9, 10)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭어려움

상승 에지 트리거 D 플립플롭이 Q = 0에서 시작하여 그림의 입력을 상승 클록 에지 8번에 걸쳐 받는다. Q의 상태는 몇 번(N) 바뀌는가?

Q₀ = 0D

N =

7.정수론과 모듈러 연산보통

x ≡ 1 (mod 3)이고 x ≡ 5 (mod 13)인 가장 작은 양의 정수 x을(를) 구하시오.

x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 5 (mod 13)

x =

8.정수론과 모듈러 연산어려움

반복 제곱법으로 11¹⁹⁸ mod 49을(를) 구하시오.

a = 11k = 198n = 49

11¹⁹⁸ mod 49 =

9.알고리즘과 복잡도보통

가중치가 없는 그래프에서 너비 우선 탐색(BFS)은 무엇을 찾습니까?

A음의 간선 가중치를 포함한 그래프에서의 최단 경로
B최소 신장 트리
C시작 노드로부터 간선 수 기준의 최단 경로
D모든 그래프에서의 위상 순서

10.알고리즘과 복잡도어려움

새 문제 X가 NP-hard임을 보이려면 무엇을 해야 합니까?

AX를 다항 시간에 알려진 NP-hard 문제로 환원한다
B알려진 NP-hard 문제를 다항 시간에 X로 환원한다
CX를 다항 시간에 검증할 수 있음을 보인다
D작은 입력에서 X에 다항 알고리즘이 없음을 보인다

11.자료구조보통

다익스트라 알고리즘은 다음에 처리할 정점을 고르는 데 어떤 추상 자료형을 사용합니까?

A최소 우선순위 큐
BFIFO 큐
C스택
D순서가 없는 집합

12.자료구조어려움

키가 서로 다를 때 유일한 이진 트리를 항상 결정하는 순회 쌍은 무엇입니까?

A전위 순회와 후위 순회
B전위 순회만
C전위 순회와 중위 순회
D레벨 순서 순회만

13.그래프 이론보통

완전그래프 K₇의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₇

H =

14.그래프 이론어려움

C에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2

N =

15.데이터베이스와 SQL보통

한 테이블이 모든 주문 행에 고객의 주소를 저장합니다. 한 행의 주소는 바꾸고 다른 행은 바꾸지 않는 것은 무엇의 예입니까?

A삭제 이상
B삽입 이상
C팬텀 읽기
D갱신 이상

16.데이터베이스와 SQL어려움

팬텀 리드(phantom read)란 무엇입니까?

A행을 하나도 반환하지 않는 쿼리
B커밋되지 않은 변경을 읽는 것
C반복 실행한 쿼리가 다른 커밋된 트랜잭션이 삽입한 새 행을 반환하는 현상
D한 번도 기록되지 않은 데이터를 읽는 것

17.컴퓨터 네트워크보통

상태 기반(stateful) 방화벽은 단순 패킷 필터와 어떻게 다릅니까?

A연결을 추적하여 수립된 세션에 속하는 응답을 허용한다
B외부로 보낸 요청에 대한 응답을 포함하여 들어오는 모든 트래픽을 예외 없이 차단한다
C전달하는 모든 패킷을 암호화한다
D각 프레임의 MAC 주소만 확인한다

18.컴퓨터 네트워크어려움

TCP 빠른 재전송(fast retransmit)은 무엇을 합니까?

A안전을 위해 모든 세그먼트를 두 번씩 재전송한다
B타임아웃을 기다리지 않고 중복 ACK 세 개를 받으면 세그먼트를 재전송한다
C손실이 생길 때마다 윈도를 두 배로 늘린다
D알려진 호스트에 다시 연결할 때 3방향 핸드셰이크를 건너뛰어 데이터가 더 빨리 재전송된다

19.IPv4 서브네팅보통

어느 부서가 한 서브넷에 호스트 주소 1668개가 필요합니다. 충분한 가장 긴 접두사 길이 p(가장 작은 서브넷)는 얼마일까요?

1668 hosts

p =

20.IPv4 서브네팅어려움

어떤 호스트의 주소가 10.20.166.78/29입니다. 그 서브넷 브로드캐스트 주소의 마지막 숫자(네 번째 옥텟) x는 얼마일까요?

10.20.166.78/29

x =

3용액

1.진법

답: U = 234

위치 기수법: 각 자리의 값은 그 숫자에 밑의 거듭제곱을 곱한 것입니다. 2진수의 자리값은 1, 2, 4, 8, 16, …, 16진수는 1, 16, 256, …이며 A–F는 10–15를 뜻합니다. 8비트 2의 보수에서 가장 왼쪽 비트는 +128이 아니라 −128의 값을 가지며, 이렇게 음수를 저장합니다.

반전하고 1 더하기

22 = 0001 0110

반전 후: 1110 1001

+1 → 1110 1010

부호 없는 수로 읽기

1110 1010₂ = 256 − 22 = 234

답

U = 234

2.진법

답: R = 25

비트 설정: 각 비트는 2의 거듭제곱(128, 64, …, 1)의 값을 가집니다. 16진수 한 자리는 정확히 네 비트이고, 8비트 2의 보수에서 맨 왼쪽 비트의 값은 −128입니다. 비트 연산은 각 비트 자리를 따로 처리합니다.

비트별로

3만큼 오른쪽으로 시프트하면 모든 비트가 3칸 오른쪽으로 이동합니다. 오른쪽 끝에서 밀려난 비트는 사라지고 왼쪽에 0이 들어옵니다.

1100 1011 >> 3

= 0001 1001

결과의 값

0001 1001₂ = 25

답

R = 25

3.명제논리와 증명

답: 우연명제

논리적 동치: 두 식은 진리표의 모든 행에서 값이 같으면 동치(≡)입니다. 항진명제는 모든 행에서 1이고, 모순은 모든 행에서 0이며, 우연명제는 둘 다 아닙니다. 유용한 법칙: 드모르간 법칙 ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b와 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b, a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a(대우), ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b, 그리고 분배법칙 a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

행별 진리표

b = 1, c = 1: c ∧ b = 1, c → (c ∧ b) = 1

b = 1, c = 0: c ∧ b = 0, c → (c ∧ b) = 1

b = 0, c = 1: c ∧ b = 0, c → (c ∧ b) = 0

b = 0, c = 0: c ∧ b = 0, c → (c ∧ b) = 1

분류

c → (c ∧ b): 1, 1, 0, 1

4개 행 중 3개 행에서는 1이고 나머지에서는 0입니다: 우연 명제(contingency).

답

우연명제

4.명제논리와 증명

답: N = 10

진리표: 서로 다른 변수가 n개인 식은 참값(1 = 참, 0 = 거짓)의 모든 조합마다 하나씩 2ⁿ개의 행을 가집니다. 안쪽부터 바깥쪽으로 작업하고 모든 부분식에 각각 열을 주세요. ¬a는 값을 뒤집습니다. a ∧ b는 둘 다 1일 때만 1입니다. a ∨ b는 둘 다 0일 때만 0입니다. a → b는 a = 1이고 b = 0일 때만 0입니다. a ↔ b는 양쪽이 같을 때 1입니다.

열

a → b; (a → b) → d; a ∨ d; c → (a ∨ d); ((a → b) → d) ∧ (c → (a ∨ d))

a을(를) 기준으로 나누기

a = 1: 6

a = 0: 4

N = 6 + 4 = 10

답

N = 10

5.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: AB = 10, CD = 10

카르노 맵: 칸은 그레이 코드(00, 01, 11, 10) 순서로 배열되므로, 가장자리를 넘어 이웃한 칸을 포함해 이웃한 칸은 정확히 한 변수만 다릅니다. 모든 1이 덮일 때까지 1들을 1, 2, 4, 8, 16칸의 직사각형으로, 가능한 한 크고 가능한 한 적게 묶으세요. 각 그룹은 그 안에서 일정하게 유지되는 변수로 이루어진 곱항 하나입니다. 2ᵏ칸의 그룹은 변수 k개를 잃습니다. 무정의항(X)은 그룹을 키우는 데 쓸 수 있지만 반드시 덮을 필요는 없습니다. 0들을 묶으면 최소 POS 형태가 나옵니다.

각 1의 이웃

이웃한 1이 있는 1은 두 칸 이상의 그룹에 들어갈 수 있습니다.

m10: m11, m8, m14, m2 → 0

고립된 1

m10 = AB′CD′ → AB = 10, CD = 10

답

AB = 10, CD = 10

6.디지털 논리: 게이트, 카르노 맵, 플립플롭

답: N = 3

플립플롭과 카운터: 플립플롭은 클록의 활성 에지에서만 바뀝니다. D는 입력을 복사합니다(Q⁺ = D). T는 T = 1이면 토글합니다. JK는 00이면 유지, 01이면 리셋, 10이면 셋, 11이면 토글합니다. n비트 이진 카운터는 상태가 2ⁿ개이고 2ⁿ을 법으로 세며, mod-N 카운터는 0, 1, …, N − 1을 거쳐 다시 0으로 돌아가고 2ⁿ ≥ N인 가장 작은 n개의 플립플롭이 필요합니다. 리플 카운터는 단마다 주파수가 절반이 되므로 mod-N 카운터의 마지막 출력은 f_clk/N으로 동작합니다. 플립플롭 n개의 존슨 카운터는 상태가 2n개, 링 카운터는 n개입니다.

에지마다의 Q

D 플립플롭은 상승 에지마다 D를 복사합니다: Q⁺ = D.

1: D = 0 → Q = 0

2: D = 0 → Q = 0

3: D = 1 → Q = 1

4: D = 0 → Q = 0

5: D = 0 → Q = 0

6: D = 1 → Q = 1

7: D = 1 → Q = 1

8: D = 1 → Q = 1

변화 세기

0 → 0 → 0 → 1 → 0 → 0 → 1 → 1 → 1

N = 3

답

N = 3

7.정수론과 모듈러 연산

답: x = 31

역원과 합동식: a는 gcd(a, n) = 1일 때, 그리고 그때에만 n을 법으로 하는 역원을 가집니다. 확장 유클리드 알고리즘은 1 = s·n + t·a로 쓰고, 그러면 a⁻¹ ≡ t (mod n)입니다. gcd(a, n) = 1인 합동식 a·x ≡ b (mod n)의 해는 x ≡ a⁻¹·b입니다. 법이 서로소인 두 합동식 x ≡ r₁ (mod m₁)과 x ≡ r₂ (mod m₂)는 m₁·m₂를 법으로 해가 하나 있습니다(중국인의 나머지 정리). 오일러 φ(n)은 1부터 n까지의 수 중 n과 서로소인 수의 개수입니다: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

첫 번째 합동식

x = 1 + 3k

두 번째 합동식

1 + 3k ≡ 5 (mod 13) → 3k ≡ 4 (mod 13)

k ≡ 9·4 ≡ 10 (mod 13)

결과

x = 1 + 3·10 = 31

x = 31

검산: 31 mod 3 = 1, 31 mod 13 = 5

답

x = 31

8.정수론과 모듈러 연산

답: 11¹⁹⁸ mod 49 = 22

모듈러 거듭제곱과 RSA: aᵏ mod n은 반복 제곱법으로 계산합니다. k를 이진수로 쓰고, 제곱하고, 단계마다 나머지를 취하고, 비트가 1인 거듭제곱들을 곱하세요. 페르마: a를 나누지 않는 소수 p에 대해 aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)이므로 지수를 p − 1을 법으로 줄일 수 있습니다. RSA: 소수 p와 q를 고르고, n = p·q, φ(n) = (p − 1)(q − 1)입니다. 공개 지수 e는 φ(n)과 서로소이고 개인 지수는 d = e⁻¹ mod φ(n)입니다. c = mᵉ mod n으로 암호화하고 m = cᵈ mod n으로 복호화합니다.

이진수 지수

198 = 11000110₂ = 128 + 64 + 4 + 2

반복 제곱

11¹ ≡ 11 (mod 49)

11² ≡ 23 (mod 49)

11⁴ ≡ 39 (mod 49)

11⁸ ≡ 2 (mod 49)

11¹⁶ ≡ 4 (mod 49)

C · 전위 순회와 중위 순회

13.그래프 이론

답: H = 360

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

답

H = 360

14.그래프 이론

답: N = 3

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

B · 타임아웃을 기다리지 않고 중복 ACK 세 개를 받으면 세그먼트를 재전송한다

19.IPv4 서브네팅

답: p = 21

IPv4 서브네팅: 주소는 32비트입니다. 접두사 /p는 앞의 몇 비트가 네트워크를 나타내는지를 말하고, 나머지 32 − p비트로 호스트 번호를 매깁니다. 서브넷에는 주소가 2³²⁻ᵖ개 있지만 첫 주소(네트워크 주소)와 마지막 주소(브로드캐스트 주소)는 호스트에 줄 수 없어 호스트 2³²⁻ᵖ − 2개가 들어갑니다. 예외: /31(점대점 링크, RFC 3021)은 주소 2개를 모두 호스트에 쓰고, /32는 단일 주소(단일 호스트 또는 루프백)입니다.

필요한 호스트 비트

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1668

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1668 → h = 11

접두사 길이

p = 32 − 11 = 21

답

p = /21

20.IPv4 서브네팅

답: x = 79

블록 크기

2³ = 8

이 호스트의 서브넷

네트워크: ⌊78/8⌋·8 = 72

브로드캐스트: 72 + 8 − 1 = 79

사용 가능한 호스트: 73 … 78

답

x = 79

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