자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

표준 삼중 루프로 두 n × n 행렬을 곱하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(n)
BO(n² log n)
CO(n²)
DO(n³)

2.알고리즘과 복잡도어려움

벨만-포드 알고리즘은 출발점에서 도달 가능한 음의 가중치 사이클을 어떻게 탐지합니까?

A다익스트라 알고리즘을 두 번 실행하여 두 거리 결과를 비교한다
BV − 1 라운드 후 아직 완화할 수 있는 간선이 있는지 확인한다
C깊이 우선 탐색으로 사이클 수를 센다
D음의 가중치를 가진 간선이 있는지 확인한다

3.자료구조보통

이진 탐색 트리를 중위 순회(in-order)하면 키를 어떤 순서로 방문합니까?

A항상 내림차순
B오름차순 정렬 순서
C레벨 순서
D삽입 순서

4.자료구조어려움

동적 배열은 가득 차면 두 배로 커집니다. 많은 구현이 배열이 절반이 아니라 4분의 1만 찼을 때에만 축소하는 이유는 무엇입니까?

A배열을 정렬된 상태로 유지하기 위해
B절반에서 반으로 줄이면 원소를 잃기 때문에
C메모리 할당기가 블록의 4분의 1 단위로만 메모리를 해제할 수 있기 때문에
D경계 근처에서 push와 pop이 번갈아 일어날 때 반복적인 크기 조정을 피하기 위해

5.그래프 이론보통

완전그래프 K₆의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₆

H =

6.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 3단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 3

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(n³)

이것이 답인 이유

항목이 n²개이고 각각 n번의 곱셈이 필요하므로 n³번의 연산이 됩니다.

답

D · O(n³)

2.알고리즘과 복잡도

답: B · V − 1 라운드 후 아직 완화할 수 있는 간선이 있는지 확인한다

이것이 답인 이유

진짜 최단 거리는 모두 V − 1 라운드 안에 구해집니다. 그 후에도 간선을 개선할 수 있다면 음의 사이클이 존재해야 합니다.

답

B · V − 1 라운드 후 아직 완화할 수 있는 간선이 있는지 확인한다

3.자료구조

답: B · 오름차순 정렬 순서

이것이 답인 이유

왼쪽 서브트리, 노드, 오른쪽 서브트리 순으로 방문하면 BST의 키가 정렬된 순서로 출력됩니다.

답

B · 오름차순 정렬 순서

4.자료구조

답: D · 경계 근처에서 push와 pop이 번갈아 일어날 때 반복적인 크기 조정을 피하기 위해

이것이 답인 이유

절반에서 축소하면 그런 연산 순서에서는 매 연산마다 크기 조정이 일어날 수 있습니다. 1/4과 가득 찬 상태 사이의 간격이 분할 상환 비용을 O(1)로 유지합니다.

답

D · 경계 근처에서 push와 pop이 번갈아 일어날 때 반복적인 크기 조정을 피하기 위해

5.그래프 이론

답: H = 60

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

답

H = 60

6.그래프 이론

답: B

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 3, C: 2

2. C (2): E: 13, G: 15

3. B (3): D: 16

4. E (13): F: 26

5. G (15)

6. D (16)

7. F (26)

단계 3

답

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