자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

단순 재귀 피보나치(fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2))의 시간 복잡도는 무엇입니까?

A상수 시간
B선형 시간
C지수 시간
D로그 시간

2.알고리즘과 복잡도어려움

카라추바 곱셈은 T(n) = 3T(n/2) + O(n)을 만족합니다. 해는 무엇입니까?

AΘ(n^{log₂ 3}), 약 n^1.585
BΘ(n log n)
CΘ(n³)
DΘ(n²)

3.자료구조보통

AVL 트리와 레드-블랙 트리가 보장하는 것은 무엇입니까?

A모든 경우의 상수 시간 탐색
B재균형을 통한 O(log n) 높이
C자식이 두 개인 노드가 없음
D키가 삽입 순서대로 저장됨

4.자료구조어려움

동적 배열은 가득 차면 두 배로 커집니다. 많은 구현이 배열이 절반이 아니라 4분의 1만 찼을 때에만 축소하는 이유는 무엇입니까?

A배열을 정렬된 상태로 유지하기 위해
B절반에서 반으로 줄이면 원소를 잃기 때문에
C경계 근처에서 push와 pop이 번갈아 일어날 때 반복적인 크기 조정을 피하기 위해
D메모리 할당기가 블록의 4분의 1 단위로만 메모리를 해제할 수 있기 때문에

5.그래프 이론보통

완전그래프 K₇의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₇

H =

6.그래프 이론어려움

D에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 3의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3

N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 지수 시간

이것이 답인 이유

호출 트리는 대략 φⁿ(약 1.618ⁿ)처럼 증가합니다. 메모이제이션을 사용하면 O(n)으로 줄일 수 있습니다.

답

C · 지수 시간

2.알고리즘과 복잡도

답: A · Θ(n^{log₂ 3}), 약 n^1.585

이것이 답인 이유

log₂ 3 ≈ 1.585 > 1이므로 마스터 정리에 따라 잎이 지배하며, O(n²)인 초등학교 방법보다 빠릅니다.

답

A · Θ(n^{log₂ 3}), 약 n^1.585

3.자료구조

답: B · 재균형을 통한 O(log n) 높이

이것이 답인 이유

자가 균형 트리는 높이를 로그 수준으로 유지하므로 탐색, 삽입, 삭제가 최악의 경우에도 O(log n)입니다.

답

B · 재균형을 통한 O(log n) 높이

4.자료구조

답: C · 경계 근처에서 push와 pop이 번갈아 일어날 때 반복적인 크기 조정을 피하기 위해

이것이 답인 이유

절반에서 축소하면 그런 연산 순서에서는 매 연산마다 크기 조정이 일어날 수 있습니다. 1/4과 가득 찬 상태 사이의 간격이 분할 상환 비용을 O(1)로 유지합니다.

답

C · 경계 근처에서 push와 pop이 번갈아 일어날 때 반복적인 크기 조정을 피하기 위해

5.그래프 이론

답: H = 360

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

답

H = 360

6.그래프 이론

답: N = 2

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 0 1 1

C: 1 0 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

한 걸음 더

(M³)_DD = 1·0 + 1·1 + 1·0 + 2·0 + 1·1 = 2

답

N = 2

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