자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

단순한 재귀 팩토리얼 함수 fact(n) = n × fact(n − 1)은 스택 공간을 얼마나 사용합니까?

AO(1)
BO(log n)
CO(n)
DO(n²)

2.알고리즘과 복잡도어려움

정점 V개, 간선 E개인 그래프에서 이진 힙을 사용한 다익스트라 알고리즘의 실행 시간은 얼마입니까?

AO(V × E)
BO(V³)
CO((V + E) log V)
DO(V + E)

3.자료구조보통

어떤 애플리케이션은 빠른 조회가 필요하고, 키를 정렬된 순서로 나열하고 범위 질의에도 답해야 합니다. 가장 적합한 구조는 무엇입니까?

A정렬되지 않은 연결 리스트
B균형 이진 탐색 트리
C스택
D해시 테이블

4.자료구조어려움

n개의 수로 된 스트림에서 O(k) 메모리로 가장 작은 값 k개를 유지해야 합니다. O(n log k) 시간에 동작하는 방법은 무엇입니까?

An개의 값을 모두 담는 정렬된 배열
Bn개의 값을 모두 담는 최소 힙에서 마지막에 가장 작은 k개를 꺼낸다
C마지막 k개 값의 FIFO 큐
D크기 k인 최대 힙을 두고, 더 작은 값이 오면 루트를 교체한다

5.그래프 이론보통

완전그래프 K₈의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₈

H =

6.그래프 이론어려움

B에서 F까지 가는 길이 2의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2

N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · O(n)

이것이 답인 이유

어떤 호출도 반환되기 전에 재귀가 n번 깊어지고 각 호출에 스택 프레임이 필요하므로 O(n) 공간을 사용합니다.

답

C · O(n)

2.알고리즘과 복잡도

답: C · O((V + E) log V)

이것이 답인 이유

V번의 extract-min과 최대 E번의 decrease-key 연산이 있고 각각 O(log V)입니다. 피보나치 힙을 쓰면 O(E + V log V)로 개선됩니다.

답

C · O((V + E) log V)

3.자료구조

답: B · 균형 이진 탐색 트리

이것이 답인 이유

균형 BST는 O(log n) 조회를 제공하고 키를 순서대로 유지하므로 중위 순회와 범위 질의가 쉽습니다. 해시 테이블은 키를 흩어 놓습니다.

답

B · 균형 이진 탐색 트리

4.자료구조

답: D · 크기 k인 최대 힙을 두고, 더 작은 값이 오면 루트를 교체한다

이것이 답인 이유

최대 힙의 루트는 유지하는 값 중 가장 큰 값입니다. 그보다 작은 새 값은 O(log k)에 그것을 대체하므로, 힙은 항상 지금까지의 가장 작은 k개를 담습니다.

답

D · 크기 k인 최대 힙을 두고, 더 작은 값이 오면 루트를 교체한다

5.그래프 이론

답: H = 2520

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

답

H = 2520

6.그래프 이론

답: N = 1

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 0 1 0 0 0

B: 0 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 1

E: 0 1 1 1 0 0

F: 0 0 0 1 0 0

공통 이웃

(M²)_BF = 0·0 + 0·0 + 1·0 + 1·1 + 1·0 + 0·0 = 1

답

N = 1

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