자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

분할 상환 분석(amortised analysis)은 무엇을 측정합니까?

  1. A최선의 입력에서 알고리즘의 비용
  2. B최악의 연산 순서에 걸친 연산당 평균 비용
  3. C연산열 전체에서 가장 비싼 단일 연산 하나의 비용
  4. D무작위 입력에 대한 기대 비용
2.알고리즘과 복잡도어려움

어떤 입력에 대해서도 퀵 정렬의 기대(expected) 실행 시간을 O(n log n)으로 만드는 기법은 무엇입니까?

  1. A왼쪽에만 재귀를 사용하기
  2. B피벗을 균등하게 무작위로 선택하기
  3. C퀵 정렬을 실행하기 전에 입력을 정렬하기
  4. D항상 첫 번째 원소를 선택하기
3.자료구조보통

크기가 7인 해시 테이블이 h(k) = k mod 7과 선형 탐사를 사용합니다. 10을 삽입한 뒤 17은 어디에 저장됩니까?

  1. A인덱스 4
  2. B인덱스 6
  3. C인덱스 0
  4. D인덱스 3
4.자료구조어려움

동적 배열은 가득 차면 두 배로 커집니다. 많은 구현이 배열이 절반이 아니라 4분의 1만 찼을 때에만 축소하는 이유는 무엇입니까?

  1. A절반에서 반으로 줄이면 원소를 잃기 때문에
  2. B메모리 할당기가 블록의 4분의 1 단위로만 메모리를 해제할 수 있기 때문에
  3. C경계 근처에서 push와 pop이 번갈아 일어날 때 반복적인 크기 조정을 피하기 위해
  4. D배열을 정렬된 상태로 유지하기 위해
5.그래프 이론보통

완전그래프 K5의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K5
H =
6.그래프 이론어려움
61020131214975218ABCDEFG

프림 알고리즘이 정점 B에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 6번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Bk = 6
  1. 1간선 AB
  2. 2간선 AC
  3. 3간선 BC
  4. 4간선 BD
  5. 5간선 DE
  6. 6간선 DF
  7. 7간선 EF
  8. 8간선 GB
  9. 9간선 GC
  10. 10간선 GD
  11. 11간선 GE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 최악의 연산 순서에 걸친 연산당 평균 비용

이것이 답인 이유

분할 상환 분석은 드물고 비싼 연산의 비용을 많은 싼 연산에 분산시켜 어떤 순서에 대해서도 보장된 평균을 제공합니다.

답

B · 최악의 연산 순서에 걸친 연산당 평균 비용
2.알고리즘과 복잡도

답: B · 피벗을 균등하게 무작위로 선택하기

이것이 답인 이유

무작위 피벗을 사용하면 모든 입력에 대해 기대 실행 시간이 O(n log n)입니다. 나쁜 경우는 여전히 존재하지만 발생할 가능성은 매우 낮습니다.

답

B · 피벗을 균등하게 무작위로 선택하기
3.자료구조

답: A · 인덱스 4

이것이 답인 이유

10 mod 7 = 3이고 17 mod 7 = 3입니다. 인덱스 3이 차 있으므로 선형 탐사는 다음 칸인 인덱스 4를 시도합니다.

답

A · 인덱스 4
4.자료구조

답: C · 경계 근처에서 push와 pop이 번갈아 일어날 때 반복적인 크기 조정을 피하기 위해

이것이 답인 이유

절반에서 축소하면 그런 연산 순서에서는 매 연산마다 크기 조정이 일어날 수 있습니다. 1/4과 가득 찬 상태 사이의 간격이 분할 상환 비용을 O(1)로 유지합니다.

답

C · 경계 근처에서 push와 pop이 번갈아 일어날 때 반복적인 크기 조정을 피하기 위해
5.그래프 이론

답: H = 12

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

답

H = 12
6.그래프 이론

답: 간선 EF

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. AB (6)
2. GB (7)
3. GD (2)
4. GC (5)
5. DE (12)
6. EF (9)

간선 번호 6

EF

답

간선 EF

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