자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

활동 선택 문제에서 겹치지 않는 활동의 수를 항상 최대로 만드는 탐욕적 규칙은 무엇입니까?

  1. A가장 일찍 시작하는 활동을 고른다
  2. B가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다
  3. C가장 짧은 활동을 먼저 고른다
  4. D겹침이 가장 적은 활동을 먼저 고른 뒤, 호환되는 활동들로 반복한다
2.알고리즘과 복잡도어려움

어떤 문제가 NP-완전(NP-complete)이려면 어떤 조건을 만족해야 합니까?

  1. ANP 밖에 있으면서 정지 문제처럼 모든 NP 문제보다 어렵다
  2. B다항 시간에 풀 수 있다
  3. CNP에 속하고 모든 NP 문제가 다항 시간에 그 문제로 환원된다
  4. D푸는 것이 불가능하다
3.자료구조보통

큐를 스택 두 개로 구현합니다. "in" 스택에 push하고 "out" 스택에서 pop하며, "out"이 비면 "in"에서 다시 채웁니다. 연산당 분할 상환 비용은 얼마입니까?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
4.자료구조어려움

n개의 수로 된 스트림에서 O(k) 메모리로 가장 작은 값 k개를 유지해야 합니다. O(n log k) 시간에 동작하는 방법은 무엇입니까?

  1. An개의 값을 모두 담는 최소 힙에서 마지막에 가장 작은 k개를 꺼낸다
  2. Bn개의 값을 모두 담는 정렬된 배열
  3. C크기 k인 최대 힙을 두고, 더 작은 값이 오면 루트를 교체한다
  4. D마지막 k개 값의 FIFO 큐
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 4인 정점 3개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

3 × deg 4
L =
6.그래프 이론어려움
5631069134ABCDEF

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다

이것이 답인 이유

가장 이른 종료 시간을 고르는 것은 교환 논증으로 최적임을 증명할 수 있습니다. 다른 규칙에는 반례가 있습니다.

답

B · 가장 일찍 끝나는 활동을 고르고, 호환되는 활동들로 반복한다
2.알고리즘과 복잡도

답: C · NP에 속하고 모든 NP 문제가 다항 시간에 그 문제로 환원된다

이것이 답인 이유

NP-완전 문제는 NP에서 가장 어려운 문제이며, 그중 하나라도 다항 시간 알고리즘이 있으면 NP 전체에 대한 다항 시간 알고리즘이 존재하게 됩니다.

답

C · NP에 속하고 모든 NP 문제가 다항 시간에 그 문제로 환원된다
3.자료구조

답: B · O(1)

이것이 답인 이유

각 원소는 모두 합쳐 최대 두 번 push되고 pop되므로, 한 번의 다시 채우기가 O(n)이 걸릴 수 있더라도 연산 순서 전체의 평균은 O(1)입니다.

답

B · O(1)
4.자료구조

답: C · 크기 k인 최대 힙을 두고, 더 작은 값이 오면 루트를 교체한다

이것이 답인 이유

최대 힙의 루트는 유지하는 값 중 가장 큰 값입니다. 그보다 작은 새 값은 O(log k)에 그것을 대체하므로, 힙은 항상 지금까지의 가장 작은 k개를 담습니다.

답

C · 크기 k인 최대 힙을 두고, 더 작은 값이 오면 루트를 교체한다
5.그래프 이론

답: L = 8

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

답

L = 8

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: d(F) = 22

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 5, C: 6
B (5): E: 9
C (6)
E (9): D: 15, F: 22
D (15)
F (22)

최단 경로

A → B → E → F
d(F) = 22

답

d(F) = 22

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