자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가득 차면 용량을 두 배로 늘리는 동적 배열에 원소를 추가하는 연산의 분할 상환(amortised) 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

log(n!)에 대한 올바른 한계는 무엇입니까?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(log n)
  4. DΘ(n²)
3.자료구조보통

실행 중인 프로그램이 활성 함수 호출과 그 지역 변수를 추적하는 데 사용하는 자료 구조는 무엇입니까?

  1. A힙 메모리 큐
  2. B프레임들의 이진 탐색 트리
  3. C함수들의 해시 테이블
  4. D호출 스택(call stack)
4.자료구조어려움

위상 정렬을 위한 칸(Kahn) 알고리즘은 진입 차수가 0인 정점을 반복해서 제거합니다. 그런 정점들은 어떤 구조에 보관됩니까?

  1. A진출 차수로 정렬된 최대 힙
  2. B방문한 모든 간선의 스택
  3. C진입 차수가 0인 정점들의 큐(또는 아무 컬렉션)
  4. D이미 제거된 정점이 어느 것인지 기록하는 인접 행렬
5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 18개이고 간선이 18개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 18|E| = 18
k =
6.그래프 이론어려움
15141216191083611ABCDEFG

프림 알고리즘이 정점 E에서 시작해 최소 신장 트리를 만든다. 2번째로 추가하는 간선을 클릭하세요.

시작: Ek = 2
  1. 1간선 AC
  2. 2간선 BD
  3. 3간선 CE
  4. 4간선 DE
  5. 5간선 DF
  6. 6간선 EF
  7. 7간선 GB
  8. 8간선 GC
  9. 9간선 GD
  10. 10간선 GE

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · O(1)

이것이 답인 이유

모든 원소의 복사는 크기가 2의 거듭제곱일 때만 발생하므로, 모든 추가 연산에 나누어 보면 추가 한 번당 평균 비용은 상수입니다.

답

B · O(1)
2.알고리즘과 복잡도

답: B · Θ(n log n)

이것이 답인 이유

log(n!) ≤ n log n이고, 가장 큰 n / 2개의 인수로부터 log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2)입니다. 이 때문에 비교 정렬에는 Ω(n log n)이 필요합니다.

답

B · Θ(n log n)
3.자료구조

답: D · 호출 스택(call stack)

이것이 답인 이유

각 호출은 스택 프레임을 push하고 각 반환은 그것을 pop하므로, 가장 최근의 호출이 먼저 끝납니다.

답

D · 호출 스택(call stack)
4.자료구조

답: C · 진입 차수가 0인 정점들의 큐(또는 아무 컬렉션)

이것이 답인 이유

준비된 정점들은 큐에 보관됩니다. 하나를 제거하면 이웃의 진입 차수가 줄고, 0에 도달한 정점은 추가되어 O(V + E) 시간이 걸립니다.

답

C · 진입 차수가 0인 정점들의 큐(또는 아무 컬렉션)
5.그래프 이론

답: k = 1

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

18 − 1 = 17

제거할 간선

k = 18 − 17 = 1

답

k = 1
6.그래프 이론

답: 간선 GE

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

프림 알고리즘

1. EF (10)
2. GE (11)
3. GC (3)
4. GD (6)
5. GB (8)
6. AC (15)

간선 번호 2

GE

답

간선 GE

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