자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

정렬된 배열에서 양 끝에서 포인터를 하나씩 안쪽으로 움직이며 합이 목표값인 두 원소를 찾습니다. 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(n²)
BO(log n)
CO(n)
DO(n log n)

2.알고리즘과 복잡도어려움

정지 문제(halting problem)가 보여 주는 것은 무엇입니까?

A모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다
B루프는 피해야 한다
C모든 프로그램은 결국 정지한다
D일부 프로그램은 더 빠른 컴퓨터에서 더 빨리 실행되므로 정지 여부는 하드웨어에 달려 있다

3.자료구조보통

이진 트리의 루트는 1이고 왼쪽 자식은 2, 오른쪽 자식은 3입니다. 노드 2의 자식은 4(왼쪽)와 5(오른쪽)입니다. 전위 순회 결과는 무엇입니까?

A4 5 2 3 1
B1 2 3 4 5
C1 2 4 5 3
D4 2 5 1 3

4.자료구조어려움

get과 put이 O(1)인 LRU(least recently used) 캐시를 지원하는 자료 구조는 무엇입니까?

A스택만
B해시 맵과 이중 연결 리스트의 조합
C하나의 정렬된 배열
D이진 탐색 트리만

5.그래프 이론보통

완전그래프 K₄의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₄

H =

6.그래프 이론어려움

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F

d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · O(n)

이것이 답인 이유

합이 너무 작으면 왼쪽 포인터가 오른쪽으로, 너무 크면 오른쪽 포인터가 왼쪽으로 움직이므로 단계는 최대 n번입니다.

답

C · O(n)

2.알고리즘과 복잡도

답: A · 모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다

이것이 답인 이유

Turing은 정지 문제가 결정 불가능(undecidable)함을 보였습니다. 판정기가 존재한다고 가정하면 그 반대로 동작하는 프로그램과 모순이 생깁니다.

답

A · 모든 프로그램과 입력에 대해 그것이 정지하는지를 판정할 수 있는 알고리즘은 없다

3.자료구조

답: C · 1 2 4 5 3

이것이 답인 이유

전위 순회는 1, 그다음 왼쪽 서브트리(2, 4, 5), 그다음 3을 방문합니다. 나머지 선택지는 중위, 후위, 레벨 순서 순회입니다.

답

C · 1 2 4 5 3

4.자료구조

답: B · 해시 맵과 이중 연결 리스트의 조합

이것이 답인 이유

해시 맵은 노드를 O(1)에 찾고, 이중 연결 리스트는 접근한 원소를 앞으로 옮기고 뒤에서 제거하는 작업을 O(1)에 수행합니다.

답

B · 해시 맵과 이중 연결 리스트의 조합

5.그래프 이론

답: H = 3

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

답

H = 3

6.그래프 이론

답: d(F) = 29

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 3, C: 8

B (3): E: 17

C (8)

E (17): D: 20, F: 31

D (20): F: 29

F (29)

최단 경로

A → B → E → D → F

d(F) = 29

답

d(F) = 29

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