자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

단순한 재귀 팩토리얼 함수 fact(n) = n × fact(n − 1)은 스택 공간을 얼마나 사용합니까?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

동적 프로그래밍으로 푸는 0/1 배낭 문제는 O(nW) 시간이 걸립니다. 이것을 의사 다항 시간(pseudo-polynomial)이라고 부르는 이유는 무엇입니까?

  1. AW는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다
  2. Bn이 항상 작기 때문이다
  3. C알고리즘이 무작위화되어 있어 입력마다 실행 시간이 달라지기 때문이다
  4. DW = 0일 때만 작동하기 때문이다
3.자료구조보통

큐를 스택 두 개로 구현합니다. "in" 스택에 push하고 "out" 스택에서 pop하며, "out"이 비면 "in"에서 다시 채웁니다. 연산당 분할 상환 비용은 얼마입니까?

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.자료구조어려움

정렬된 연결 리스트와 비교했을 때 스킵 리스트의 주요 장점은 무엇입니까?

  1. A모든 노드가 다른 모든 노드에 대한 포인터를 저장하므로 O(1) 탐색이 보장된다
  2. B추가 메모리를 사용하지 않는다
  3. C키를 순서 없이 저장한다
  4. D여러 레벨의 전방 포인터를 사용하여 기대 O(log n) 탐색이 가능하다
5.그래프 이론보통
ABCDEF오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
4148104514143ABCDEFG

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(n)

이것이 답인 이유

어떤 호출도 반환되기 전에 재귀가 n번 깊어지고 각 호출에 스택 프레임이 필요하므로 O(n) 공간을 사용합니다.

답

D · O(n)
2.알고리즘과 복잡도

답: A · W는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다

이것이 답인 이유

실행 시간은 W의 값에 대해서는 다항식이지만 그 길이(log W 비트)에 대해서는 지수적입니다. 0/1 배낭 문제는 NP-완전입니다.

답

A · W는 수이므로 실행 시간이 W를 쓰는 데 쓰이는 비트 수에 대해 지수적이다
3.자료구조

답: B · O(1)

이것이 답인 이유

각 원소는 모두 합쳐 최대 두 번 push되고 pop되므로, 한 번의 다시 채우기가 O(n)이 걸릴 수 있더라도 연산 순서 전체의 평균은 O(1)입니다.

답

B · O(1)
4.자료구조

답: D · 여러 레벨의 전방 포인터를 사용하여 기대 O(log n) 탐색이 가능하다

이것이 답인 이유

무작위로 정해지는 레벨 덕분에 탐색 시 많은 노드를 건너뛸 수 있어, 탐색, 삽입, 삭제의 기대 시간이 O(log n)입니다.

답

D · 여러 레벨의 전방 포인터를 사용하여 기대 O(log n) 탐색이 가능하다
5.그래프 이론

답: 둘 다 아님

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 4, deg(F) = 1

홀수 정점

B, C, D, F → 4
둘 다 아님

답

둘 다 아님
6.그래프 이론

답: d(F) = 26

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 4, C: 14
B (4): C: 12, G: 18
C (12): E: 22
G (18): D: 32, E: 21
E (21): D: 25, F: 26
D (25)
F (26)

최단 경로

A → B → G → E → F
d(F) = 26

답

d(F) = 26

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