자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

가득 차면 용량을 두 배로 늘리는 동적 배열에 원소를 추가하는 연산의 분할 상환(amortised) 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

점화식 T(n) = 2T(n/2) + n log n의 해는 무엇입니까?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.자료구조보통

리스트 중간에 있는 노드에 대한 참조가 있습니다. 어떤 리스트에서 그 노드를 O(1)에 제거할 수 있습니까?

  1. A동적 배열
  2. B정렬된 배열
  3. C단일 연결 리스트
  4. D이중 연결 리스트
4.자료구조어려움

데이터베이스가 인덱스에 일반 B-트리보다 B+ 트리를 자주 사용하는 이유는 무엇입니까?

  1. AB+ 트리는 데이터를 루트에만 저장하기 때문에
  2. B모든 레코드가 연결된 리프에 있어 범위 스캔이 효율적이기 때문에
  3. CB+ 트리는 이진 내부 노드를 사용하여 디스크 읽기 횟수를 줄이기 때문에
  4. DB+ 트리는 균형을 유지할 필요가 없기 때문에
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 3개, 차수가 5인 정점 4개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

3 × deg 34 × deg 5
L =
6.그래프 이론어려움
ABCDEF

D에서 출발해 같은 정점으로 돌아오는 길이 2의 닫힌 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 2
N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · O(1)

이것이 답인 이유

모든 원소의 복사는 크기가 2의 거듭제곱일 때만 발생하므로, 모든 추가 연산에 나누어 보면 추가 한 번당 평균 비용은 상수입니다.

답

C · O(1)
2.알고리즘과 복잡도

답: B · Θ(n log² n)

이것이 답인 이유

k단계는 약 n log(n / 2ᵏ)의 작업을 하고 log n개 단계에 걸쳐 합하면 Θ(n log² n)이 되며, 이는 마스터 정리의 확장된 두 번째 경우입니다.

답

B · Θ(n log² n)
3.자료구조

답: D · 이중 연결 리스트

이것이 답인 이유

이중 연결 노드는 자신의 이전 노드를 알기 때문에 prev와 next를 직접 다시 연결할 수 있습니다. 단일 연결 리스트는 이전 노드를 찾아야 합니다.

답

D · 이중 연결 리스트
4.자료구조

답: B · 모든 레코드가 연결된 리프에 있어 범위 스캔이 효율적이기 때문에

이것이 답인 이유

B+ 트리에서 내부 노드는 탐색을 안내할 뿐이고 리프는 키 순서로 연결되어 있으므로, 범위 질의는 첫 키를 찾은 뒤 리프를 따라 걸어갑니다.

답

B · 모든 레코드가 연결된 리프에 있어 범위 스캔이 효율적이기 때문에
5.그래프 이론

답: L = 17

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 29 = 2(L + 7) − 2
L = 17

답

L = 17

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: N = 3

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. Kn은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

공통 이웃

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 = 3

답

N = 3

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