자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

탐욕 알고리즘(greedy algorithm)은 무엇을 합니까?

  1. A가능한 모든 해를 시도합니다
  2. B각 단계에서 지역적으로 가장 좋은 선택을 합니다
  3. C재귀만 사용합니다
  4. D항상 최적해를 제공합니다
2.알고리즘과 복잡도어려움

일부 간선 가중치가 음수일 때 다익스트라 알고리즘이 틀린 결과를 줄 수 있는 이유는 무엇입니까?

  1. A정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에
  2. B음수 간선마다 무한 루프에 빠지기 때문에
  3. C무방향 그래프에서만 동작하기 때문에
  4. D우선순위 큐에 음수를 저장할 수 없기 때문에
3.자료구조보통

도로망에 교차로가 100,000개 있고, 각 교차로는 다른 교차로 약 4개와 연결됩니다. 가장 적합한 표현은 무엇입니까?

  1. A정점들의 정렬된 배열 하나
  2. B인접 행렬
  3. C인접 리스트
  4. D간선들의 이진 힙
4.자료구조어려움

키 5, 3, 8, 1을 이 순서로 빈 배열 기반 이진 최소 힙에 삽입합니다. 최종 배열은 무엇입니까?

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 4개, 차수가 4인 정점 3개, 차수가 5인 정점 4개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 5
L =
6.그래프 이론어려움
584744118ABCDEF

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 각 단계에서 지역적으로 가장 좋은 선택을 합니다

이것이 답인 이유

탐욕 알고리즘은 빠르며 일부 문제(예: Dijkstra, Huffman 코딩)에서는 최적이지만 일반적으로는 그렇지 않습니다(예: 특정 동전 체계에서의 거스름돈 문제).

답

B · 각 단계에서 지역적으로 가장 좋은 선택을 합니다
2.알고리즘과 복잡도

답: A · 정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에

이것이 답인 이유

탐욕적 단계는 추출된 거리가 확정되도록 음이 아닌 가중치에 의존합니다. 가중치가 음수일 수 있으면 벨만-포드를 사용합니다.

답

A · 정점은 추출될 때 확정되지만, 나중의 음수 간선이 여전히 더 짧은 경로를 줄 수 있기 때문에
3.자료구조

답: C · 인접 리스트

이것이 답인 이유

행렬은 1010개의 칸이 필요하고 거의 모두 비어 있을 것입니다. 인접 리스트는 약 400,000개의 간선 항목만 저장합니다.

답

C · 인접 리스트
4.자료구조

답: D · [1, 3, 8, 5]

이것이 답인 이유

5, 3, 8 다음에 배열은 [3, 5, 8]입니다. 1은 인덱스 3에 들어가 부모 5와 교환된 뒤 3과 교환되어 [1, 3, 8, 5]가 됩니다.

답

D · [1, 3, 8, 5]
5.그래프 이론

답: L = 24

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 44 = 2(L + 11) − 2
L = 24

답

L = 24

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: d(F) = 23

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 5, C: 8
B (5): D: 12, E: 13
C (8): E: 12
D (12)
E (12): F: 23
F (23)

최단 경로

A → C → E → F
d(F) = 23

답

d(F) = 23

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