자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

최악의 경우 비교 기반 정렬의 하한은 무엇입니까?

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(log n)
  4. DΩ(n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

쿡-레빈 정리는 무엇을 확립했습니까?

  1. AP는 NP와 같지 않다
  2. B불리언 충족 가능성 문제(SAT)는 NP-complete이다
  3. C모든 NP 문제는 지수 시간에 풀 수 있다
  4. D정지 문제는 결정 불가능하다
3.자료구조보통

이진 탐색 트리에서 최소 키는 어떻게 찾습니까?

  1. A루트에서 오른쪽 자식이 없을 때까지 오른쪽 자식을 따라간다
  2. B모든 리프를 방문하여 비교한다
  3. C루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다
  4. D루트만 본다
4.자료구조어려움

데이터베이스와 파일 시스템에서 B-트리를 사용하는 이유는 무엇입니까?

  1. A데이터를 정렬하지 않고 저장하기 때문이다
  2. B높은 분기 계수로 트리를 얕게 유지하여 느린 디스크 읽기를 줄이기 때문이다
  3. C어떤 배열보다도 메모리를 적게 써서 전체 인덱스가 항상 주기억장치에 들어가기 때문이다
  4. D재균형이 필요 없기 때문이다
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 4개, 차수가 4인 정점 3개, 차수가 5인 정점 3개, 차수가 2인 정점 2개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
2104111718715161213ABCDEFG

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 7|E| = 11
W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · Ω(n log n)

이것이 답인 이유

모든 비교 정렬은 최악의 경우 최소 log₂(n!) ≈ n log n번의 비교가 필요합니다. 계수 정렬은 비교를 하지 않기 때문에 이 하한보다 빠를 수 있습니다.

답

B · Ω(n log n)
2.알고리즘과 복잡도

답: B · 불리언 충족 가능성 문제(SAT)는 NP-complete이다

이것이 답인 이유

쿡과 레빈은 NP의 모든 문제가 다항 시간에 SAT로 환원됨을 독립적으로 보였으므로 SAT는 최초로 알려진 NP-complete 문제가 되었습니다.

답

B · 불리언 충족 가능성 문제(SAT)는 NP-complete이다
3.자료구조

답: C · 루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다

이것이 답인 이유

가장 왼쪽 노드보다 작은 키는 트리에 없으므로 그것이 최솟값입니다. 비용은 높이에 비례합니다.

답

C · 루트에서 왼쪽 자식이 없을 때까지 왼쪽 자식을 따라간다
4.자료구조

답: B · 높은 분기 계수로 트리를 얕게 유지하여 느린 디스크 읽기를 줄이기 때문이다

이것이 답인 이유

B-트리는 노드마다 많은 키를 저장하므로 높이가 낮고 조회당 필요한 블록 읽기가 적습니다. B+ 트리는 범위 스캔을 위해 리프끼리도 연결합니다.

답

B · 높은 분기 계수로 트리를 얕게 유지하여 느린 디스크 읽기를 줄이기 때문이다
5.그래프 이론

답: L = 21

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 43 = 2(L + 12) − 2
L = 21

답

L = 21

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: W = 49

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

AB (2): 선택
BC (4): 선택
EF (7): 선택
AC (10): 건너뜀, 사이클이 생김
BD (11): 선택
GD (12): 선택
GE (13): 선택

총 가중치

W = 2 + 4 + 7 + 11 + 12 + 13 = 49

답

W = 49

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