자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

동전이 1, 3, 4이고 금액이 6일 때, 탐욕적인 "가장 큰 동전 먼저" 방법은 최적과 비교하여 동전을 몇 개 사용합니까?

  1. A탐욕은 3개, 최적은 3개
  2. B탐욕은 3개, 최적은 2개
  3. C탐욕은 2개, 최적은 2개
  4. D탐욕은 4개, 최적은 3개
2.알고리즘과 복잡도어려움

카라추바 곱셈은 T(n) = 3T(n/2) + O(n)을 만족합니다. 해는 무엇입니까?

  1. AΘ(nlog₂ 3), 약 n1.585
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n3)
3.자료구조보통

용량이 n인 배열에 저장된 원형 큐에서 인덱스 i 다음 위치는 어떻게 계산합니까?

  1. A2i + 1
  2. Bi + 1
  3. C(i + 1) mod n
  4. D(i − 1) mod n
4.자료구조어려움

루트가 50이고, 왼쪽 서브트리는 30(자식 20, 40), 오른쪽 서브트리는 70(자식 60, 80)인 BST에서 중위 후속자를 사용하여 루트를 삭제합니다. 어떤 키가 새 루트가 됩니까?

  1. A80
  2. B70
  3. C40
  4. D60
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 4개, 차수가 4인 정점 2개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 32 × deg 4
L =
6.그래프 이론어려움
47101410791472ABCDEFG

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 탐욕은 3개, 최적은 2개

이것이 답인 이유

탐욕은 4 + 1 + 1 = 3개를 쓰지만 3 + 3은 2개만 쓰므로, 이 동전 체계에서 탐욕은 최적이 아니고 동적 계획법이 최적입니다.

답

B · 탐욕은 3개, 최적은 2개
2.알고리즘과 복잡도

답: A · Θ(nlog₂ 3), 약 n1.585

이것이 답인 이유

log₂ 3 ≈ 1.585 > 1이므로 마스터 정리에 따라 잎이 지배하며, O(n²)인 초등학교 방법보다 빠릅니다.

답

A · Θ(nlog₂ 3), 약 n1.585
3.자료구조

답: C · (i + 1) mod n

이것이 답인 이유

나머지 연산이 인덱스 n − 1을 다시 0으로 돌려 주므로, 원소를 이동시키지 않고 배열을 재사용할 수 있습니다.

답

C · (i + 1) mod n
4.자료구조

답: D · 60

이것이 답인 이유

오른쪽 서브트리의 가장 왼쪽 노드는 60이므로 60이 50을 대체하고 원래 위치에서 제거됩니다. 선행자를 사용하면 40이 됩니다.

답

D · 60
5.그래프 이론

답: L = 10

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

답

L = 10

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: d(F) = 22

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 4
B (4): C: 11, D: 14, G: 13
C (11): E: 25
G (13): E: 15
D (14): F: 24
E (15): F: 22
F (22)

최단 경로

A → B → G → E → F
d(F) = 22

답

d(F) = 22

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