자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

퀵 정렬의 최악의 경우 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.알고리즘과 복잡도어려움

for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) O(1) 작업 수행 — 이 코드의 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
3.자료구조보통

다익스트라 알고리즘은 다음에 처리할 정점을 고르는 데 어떤 추상 자료형을 사용합니까?

  1. A순서가 없는 집합
  2. B스택
  3. C최소 우선순위 큐
  4. DFIFO 큐
4.자료구조어려움

서버가 해시 함수를 범용(universal) 해시 함수족에서 무작위로 고르는 이유는 무엇일 수 있습니까?

  1. A공격자가 어떤 키를 보내더라도 어떤 두 키도 결코 충돌하지 않도록 보장하기 위해
  2. B공격자가 모두 충돌하는 키를 많이 고를 가능성을 매우 낮추기 위해
  3. C해시 테이블을 정렬된 상태로 만들기 위해
  4. D테이블 크기 조정의 필요를 없애기 위해
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 4개, 차수가 2인 정점 4개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 34 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
1521345661ABCDEF

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 E까지의 최단 경로의 길이 d(E)을(를) 구하시오.

시작: A끝: E
d(E) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(n²)

이것이 답인 이유

피벗을 계속 나쁘게 선택하면(예: 이미 정렬된 입력에서 첫 번째 원소를 피벗으로 선택) 분할이 불균형해져 O(n²)이 됩니다. 평균적인 경우는 O(n log n)입니다.

답

D · O(n²)
2.알고리즘과 복잡도

답: C · O(n log n)

이것이 답인 이유

합은 n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn이고, 조화수 Hn은 Θ(log n)입니다.

답

C · O(n log n)
3.자료구조

답: C · 최소 우선순위 큐

이것이 답인 이유

보통 이진 힙으로 구현하는 최소 우선순위 큐는 거리가 가장 작은 미방문 정점을 효율적으로 반환합니다.

답

C · 최소 우선순위 큐
4.자료구조

답: B · 공격자가 모두 충돌하는 키를 많이 고를 가능성을 매우 낮추기 위해

이것이 답인 이유

범용 해싱에서는 공격자가 어떤 함수가 선택되었는지 모르므로 어떤 키 집합에 대해서도 기대 충돌 수가 작습니다.

답

B · 공격자가 모두 충돌하는 키를 많이 고를 가능성을 매우 낮추기 위해
5.그래프 이론

답: L = 6

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 20 = 2(L + 8) − 2
L = 6

답

L = 6

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: d(E) = 7

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 15, C: 2
C (2): E: 7
E (7): F: 13, B: 8
B (8): D: 12
D (12)
F (13)

최단 경로

A → C → E
d(E) = 7

답

d(E) = 7

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