자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = 2T(n/2) + O(n)의 해는 무엇입니까?

AO(n log n)
BO(log n)
CO(n²)
DO(n)

2.알고리즘과 복잡도어려움

카라추바 곱셈은 T(n) = 3T(n/2) + O(n)을 만족합니다. 해는 무엇입니까?

AΘ(n²)
BΘ(n^{log₂ 3}), 약 n^1.585
CΘ(n log n)
DΘ(n³)

3.자료구조보통

실제로 배열 순회가 같은 길이의 연결 리스트 순회보다 훨씬 빠른 경우가 많은 이유는 무엇입니까?

A연결 리스트는 항상 원소를 디스크에 저장하기 때문에
B배열 순회는 전체가 O(1)이고 연결 리스트 순회는 O(n)이기 때문에
C배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에
D배열은 값 비교에 더 적은 명령어를 쓰기 때문에

4.자료구조어려움

랭크 기반 합치기(union by rank)와 경로 압축(path compression)을 사용하는 union-find(서로소 집합) 구조의 연산당 분할 상환 비용은 얼마입니까?

AO(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다
BO(n²)
CO(n)
D정확히 O(log n)

5.그래프 이론보통

완전그래프 K₅의 서로 다른 해밀턴 회로는 몇 개(H)인가? 시작 정점이나 방향만 다른 회로는 같은 것으로 센다.

K₅

H =

6.그래프 이론어려움

A에서 E까지 가는 길이 3의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3

N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: A · O(n log n)

이것이 답인 이유

마스터 정리(master theorem)에 의해(a = 2, b = 2, f(n) = n) T(n) = Θ(n log n)입니다.

답

A · O(n log n)

2.알고리즘과 복잡도

답: B · Θ(n^{log₂ 3}), 약 n^1.585

이것이 답인 이유

log₂ 3 ≈ 1.585 > 1이므로 마스터 정리에 따라 잎이 지배하며, O(n²)인 초등학교 방법보다 빠릅니다.

답

B · Θ(n^{log₂ 3}), 약 n^1.585

3.자료구조

답: C · 배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에

이것이 답인 이유

연속된 메모리는 참조 지역성이 좋지만, 연결된 노드는 흩어져 있어 캐시 미스를 많이 일으킬 수 있습니다.

답

C · 배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에

4.자료구조

답: A · O(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다

이것이 답인 이유

두 가지 최적화를 모두 적용하면 연산의 분할 상환 시간은 O(α(n))이며, 현실적인 모든 n에 대해 α(n) ≤ 4입니다.

답

A · O(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다

5.그래프 이론

답: H = 12

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

세기

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

답

H = 12

6.그래프 이론

답: N = 2

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 0

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 0 1 0

한 걸음 더

(M³)_AE = 2·0 + 1·1 + 1·0 + 1·1 + 1·0 = 2

답

N = 2

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