자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

동적 계획법이 병합 정렬에 실질적인 속도 향상을 주지 못하는 이유는 무엇입니까?

  1. A병합 정렬에는 재귀 구조가 없기 때문에
  2. B부분 문제가 겹치지 않아 재사용할 것이 없기 때문에
  3. C병합 정렬은 이미 O(n)이기 때문에
  4. D동적 계획법은 배열이 아니라 그래프 문제에서만 동작하기 때문에
2.알고리즘과 복잡도어려움

점화식 T(n) = 2T(n/2) + n log n의 해는 무엇입니까?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log² n)
3.자료구조보통

이진 힙을 포인터 없이 배열에 저장할 수 있는 이유는 무엇입니까?

  1. A배열이 키를 자동으로 정렬된 순서로 유지하므로 포인터가 필요 없기 때문에
  2. B완전 이진 트리이므로 위치가 간단한 인덱스 공식을 따르기 때문에
  3. C힙의 모든 키가 같기 때문에
  4. D힙에는 원소가 100개를 넘지 않기 때문에
4.자료구조어려움

랭크 기반 합치기(union by rank)와 경로 압축(path compression)을 사용하는 union-find(서로소 집합) 구조의 연산당 분할 상환 비용은 얼마입니까?

  1. A정확히 O(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다
5.그래프 이론보통
ABCDEFG오일러 회로오일러 경로, 회로 없음둘 다 아님

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1오일러 회로
  2. 2오일러 경로, 회로 없음
  3. 3둘 다 아님
6.그래프 이론어려움
15751521122ABCDEF

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 4단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 부분 문제가 겹치지 않아 재사용할 것이 없기 때문에

이것이 답인 이유

병합 정렬의 두 절반은 서로소이고 각각 한 번만 풀립니다. DP는 피보나치처럼 부분 문제가 반복될 때만 도움이 됩니다.

답

B · 부분 문제가 겹치지 않아 재사용할 것이 없기 때문에
2.알고리즘과 복잡도

답: D · Θ(n log² n)

이것이 답인 이유

k단계는 약 n log(n / 2ᵏ)의 작업을 하고 log n개 단계에 걸쳐 합하면 Θ(n log² n)이 되며, 이는 마스터 정리의 확장된 두 번째 경우입니다.

답

D · Θ(n log² n)
3.자료구조

답: B · 완전 이진 트리이므로 위치가 간단한 인덱스 공식을 따르기 때문에

이것이 답인 이유

완전 트리이므로 빈틈이 없어, 인덱스 i의 자식은 항상 2i + 1과 2i + 2에 있습니다.

답

B · 완전 이진 트리이므로 위치가 간단한 인덱스 공식을 따르기 때문에
4.자료구조

답: D · O(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다

이것이 답인 이유

두 가지 최적화를 모두 적용하면 연산의 분할 상환 시간은 O(α(n))이며, 현실적인 모든 n에 대해 α(n) ≤ 4입니다.

답

D · O(α(n)), 즉 역 아커만 함수로, 실질적으로 상수이다
5.그래프 이론

답: 오일러 회로

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

홀수 정점

0
오일러 회로

답

오일러 회로
6.그래프 이론

답: E

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 15, C: 7
2. C (7): B: 12
3. B (12): D: 27, E: 14
4. E (14): D: 16, F: 26
5. D (16): F: 17
6. F (17)

단계 4

E

답

E

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