자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

프림 알고리즘은 최소 신장 트리를 어떻게 만듭니까?

A사이클이 없어질 때까지 가장 비싼 간선을 제거한다
B시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리를 떠나는 가장 싼 간선을 추가한다
C간선을 가중치순으로 모두 정렬하여 숲에서 사이클을 만들지 않는 간선을 하나씩 추가한다
D너비 우선 탐색을 실행하고 BFS 트리를 유지한다

2.알고리즘과 복잡도어려움

상향식(bottom-up) 방법으로 정렬되지 않은 n개의 원소로 이진 힙을 구성하는 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(log n)
BO(n log n)
CO(n)
DO(n²)

3.자료구조보통

AVL 트리는 모든 노드에서 어떤 균형 조건을 유지합니까?

A모든 노드가 빨간색 또는 검은색으로 칠해져 있다
B모든 노드의 두 서브트리가 정확히 같은 수의 노드를 포함한다
C왼쪽과 오른쪽 서브트리의 높이 차이가 최대 1이다
D모든 리프가 정확히 같은 깊이에 있다

4.자료구조어려움

스플레이 트리는 접근할 때마다 무엇을 합니까?

A접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다
B접근한 노드를 리프로 옮긴다
C탐색 경로의 노드 색을 바꾼다
D트리 전체를 균형 잡힌 형태로 다시 만든다

5.그래프 이론보통

연결 그래프에 오일러 회로가 있는가, 회로가 아닌 오일러 경로가 있는가, 둘 다 없는가? 답을 클릭하세요.

|V| = 7|E| = 8

1오일러 회로
2오일러 경로, 회로 없음
3둘 다 아님

6.그래프 이론어려움

가중 그래프의 최소 신장 트리의 총 가중치 W을(를) 구하시오.

|V| = 5|E| = 7

W =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: B · 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리를 떠나는 가장 싼 간선을 추가한다

이것이 답인 이유

교차 간선의 우선순위 큐를 사용하는 프림 알고리즘은 이진 힙으로 O(E log V)에 실행됩니다.

답

B · 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리를 떠나는 가장 싼 간선을 추가한다

2.알고리즘과 복잡도

답: C · O(n)

이것이 답인 이유

각 레벨의 sift-down 비용을 합하면 수렴하는 급수가 되므로 heapify는 선형 시간에 실행됩니다.

답

C · O(n)

3.자료구조

답: C · 왼쪽과 오른쪽 서브트리의 높이 차이가 최대 1이다

이것이 답인 이유

균형 인수(왼쪽 높이 − 오른쪽 높이)는 −1, 0, 1 중 하나여야 하며, 삽입과 삭제 후에는 회전으로 이를 회복합니다.

답

C · 왼쪽과 오른쪽 서브트리의 높이 차이가 최대 1이다

4.자료구조

답: A · 접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다

이것이 답인 이유

스플레이는 회전을 통해 접근한 노드를 루트로 옮깁니다. 연산 한 번은 O(n)이 들 수 있지만 분할 상환 비용은 O(log n)입니다.

답

A · 접근한 노드를 회전시켜 루트로 올린다

5.그래프 이론

답: 둘 다 아님

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

차수

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 4

홀수 정점

A, B, C, F → 4

둘 다 아님

답

둘 다 아님

6.그래프 이론

답: W = 24

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

크루스칼 알고리즘

CE (3): 선택

AC (4): 선택

BC (5): 선택

BE (6): 건너뜀, 사이클이 생김

DE (12): 선택

총 가중치

W = 3 + 4 + 5 + 12 = 24

답

W = 24

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