자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리: Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
정규그래프: |E| = n·k/2
트리와 포리스트: |E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러: 회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
K_n의 해밀턴 회로: (n − 1)!/2
다익스트라 갱신: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행: (Mᴸ)_ij

방법

모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

점화식 T(n) = 2T(n/2) + O(1)의 해는 무엇입니까?

AO(n²)
BO(n log n)
CO(n)
DO(log n)

2.알고리즘과 복잡도어려움

for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) O(1) 작업 수행 — 이 코드의 시간 복잡도는 무엇입니까?

AO(n log n)
BO(n √n)
CO(n)
DO(n²)

3.자료구조보통

원형 버퍼(링 버퍼)는 일반적으로 무엇을 구현하는 데 사용됩니까?

A그래프 순회
B해시 함수
C이진 탐색 트리
D고정 크기 큐

4.자료구조어려움

개방 주소법을 사용하는 해시 테이블에서 삭제할 때 "툼스톤"(tombstone) 표시를 자주 사용하는 이유는 무엇입니까?

A툼스톤이 해싱 속도를 높이기 때문이다
B보안을 위해 삭제된 키를 영구히 보관해야 하므로 슬롯을 재사용할 수 없기 때문이다
C슬롯을 비우면 다른 키의 탐사 순서가 끊길 수 있기 때문이다
D테이블이 정렬된 상태가 되기 때문이다

5.그래프 이론보통

연결 그래프의 정점이 15개이고 간선이 25개이다. 신장 트리가 남도록 제거해야 하는 간선은 몇 개(k)인가?

|V| = 15|E| = 25

k =

6.그래프 이론어려움

A에서 E까지 가는 길이 3의 보행은 몇 개인가? 보행에서는 정점과 간선이 반복될 수 있다. 그 수를 N(이)라 하자.

M = 인접 행렬L = 3

N =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · O(n)

이것이 답인 이유

마스터 정리에 따라 n^{log₂ 2} = n이 상수 작업을 지배하므로, 절반으로 나누어 최댓값을 찾을 때처럼 T(n) = Θ(n)입니다.

답

C · O(n)

2.알고리즘과 복잡도

답: A · O(n log n)

이것이 답인 이유

합은 n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × H_n이고, 조화수 H_n은 Θ(log n)입니다.

답

A · O(n log n)

3.자료구조

답: D · 고정 크기 큐

이것이 답인 이유

링 버퍼는 순환하는 head와 tail 인덱스를 사용하여 고정된 메모리에서 O(1) enqueue와 dequeue를 제공합니다.

답

D · 고정 크기 큐

4.자료구조

답: C · 슬롯을 비우면 다른 키의 탐사 순서가 끊길 수 있기 때문이다

이것이 답인 이유

삭제된 슬롯이 비게 되면 이후의 탐색이 일찍 멈춰서 탐사 체인의 더 뒤쪽에 배치된 키를 놓칠 수 있습니다.

답

C · 슬롯을 비우면 다른 키의 탐사 순서가 끊길 수 있기 때문이다

5.그래프 이론

답: k = 11

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, K_n에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

신장 트리의 간선

15 − 1 = 14

제거할 간선

k = 25 − 14 = 11

답

k = 11

6.그래프 이론

답: N = 3

차수: 정점의 차수는 그 정점에 닿는 간선의 수입니다. 모든 간선은 양 끝이 있으므로 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다: Σ deg(v) = 2|E|(악수 보조정리). 따라서 차수가 홀수인 정점의 수는 짝수입니다. K_n은 간선이 n(n − 1)/2개이고, 정점이 n개인 k-정규그래프는 nk/2개이며, 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개입니다.

인접 행렬

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

한 걸음 더

(M³)_AE = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 2·0 = 3

답

N = 3

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