자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

탐욕 알고리즘(greedy algorithm)은 무엇을 합니까?

  1. A항상 최적해를 제공합니다
  2. B가능한 모든 해를 시도합니다
  3. C각 단계에서 지역적으로 가장 좋은 선택을 합니다
  4. D재귀만 사용합니다
2.알고리즘과 복잡도어려움

벨만-포드 알고리즘은 출발점에서 도달 가능한 음의 가중치 사이클을 어떻게 탐지합니까?

  1. AV − 1 라운드 후 아직 완화할 수 있는 간선이 있는지 확인한다
  2. B깊이 우선 탐색으로 사이클 수를 센다
  3. C음의 가중치를 가진 간선이 있는지 확인한다
  4. D다익스트라 알고리즘을 두 번 실행하여 두 거리 결과를 비교한다
3.자료구조보통

충돌한 키들을 같은 버킷의 리스트에 저장하는 충돌 해결 방법은 무엇입니까?

  1. A이중 해싱(Double hashing)
  2. B선형 탐사(Linear probing)
  3. C분리 체이닝(Separate chaining)
  4. D이차 탐사(Quadratic probing)
4.자료구조어려움

AVL 노드가 왼쪽 자식의 오른쪽 서브트리가 너무 높아져 불균형해졌습니다(left-right 경우). 어떤 수정이 적용됩니까?

  1. A왼쪽 자식에서 오른쪽 회전 후 노드에서 왼쪽 회전
  2. B노드에서 단일 왼쪽 회전
  3. C왼쪽 자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전
  4. D노드에서 단일 오른쪽 회전
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 4개, 차수가 4인 정점 3개, 차수가 5인 정점 4개, 차수가 2인 정점 3개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
111526155813101ABCDEFG

다익스트라 알고리즘으로 가중 그래프에서 A에서 F까지의 최단 경로의 길이 d(F)을(를) 구하시오.

시작: A끝: F
d(F) =

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: C · 각 단계에서 지역적으로 가장 좋은 선택을 합니다

이것이 답인 이유

탐욕 알고리즘은 빠르며 일부 문제(예: Dijkstra, Huffman 코딩)에서는 최적이지만 일반적으로는 그렇지 않습니다(예: 특정 동전 체계에서의 거스름돈 문제).

답

C · 각 단계에서 지역적으로 가장 좋은 선택을 합니다
2.알고리즘과 복잡도

답: A · V − 1 라운드 후 아직 완화할 수 있는 간선이 있는지 확인한다

이것이 답인 이유

진짜 최단 거리는 모두 V − 1 라운드 안에 구해집니다. 그 후에도 간선을 개선할 수 있다면 음의 사이클이 존재해야 합니다.

답

A · V − 1 라운드 후 아직 완화할 수 있는 간선이 있는지 확인한다
3.자료구조

답: C · 분리 체이닝(Separate chaining)

이것이 답인 이유

체이닝은 버킷마다 연결 리스트(또는 다른 구조)를 유지하고, 개방 주소법은 테이블 안에서 다른 빈 슬롯을 찾습니다.

답

C · 분리 체이닝(Separate chaining)
4.자료구조

답: C · 왼쪽 자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전

이것이 답인 이유

첫 번째 회전이 left-right 경우를 left-left 경우로 바꾸고, 그다음 불균형 노드에서의 오른쪽 회전이 이를 고칩니다.

답

C · 왼쪽 자식에서 왼쪽 회전 후 노드에서 오른쪽 회전
5.그래프 이론

답: L = 24

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 50 = 2(L + 14) − 2
L = 24

답

L = 24

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: d(F) = 18

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

각 줄: 확정된 정점, 그 최종 거리, 거리가 개선되는 이웃.

A (0): B: 11, C: 15
B (11): D: 13, G: 24
D (13): E: 28, F: 18, G: 14
G (14)
C (15): E: 21
F (18)
E (21)

최단 경로

A → B → D → F
d(F) = 18

답

d(F) = 18

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