자료구조와 알고리즘: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 6개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

그래프 이론

악수 보조정리
Σ deg(v) = 2|E|
완전그래프
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
정규그래프
|E| = n·k/2
트리와 포리스트
|E| = n − 1, |E| = n − c
트리의 잎
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
오일러
회로: 모든 차수가 짝수; 경로: 차수가 홀수인 정점이 정확히 2개
Kn의 해밀턴 회로
(n − 1)!/2
다익스트라 갱신
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
길이 L의 보행
(Mᴸ)ij

방법

  1. 모든 정점의 차수를 적으세요. 차수의 합은 간선 수의 두 배입니다.
  2. 오일러 문제에서는 그래프가 연결되어 있는지 확인하고 차수가 홀수인 정점의 수를 세세요.
  3. 트리에서는 간선이 n − 1개라는 사실과 악수 보조정리를 사용하세요.
  4. 다익스트라에서는 임시 거리 표를 만들고, 매 단계마다 확정되지 않은 정점 중 거리가 가장 작은 정점을 확정하세요.
  5. 최소 신장 트리는 간선을 가중치 순으로 정렬해 사이클을 만드는 간선을 건너뛰거나(크루스칼), 시작 정점에서 트리 하나를 키워 가세요(프림).

2연습 문제

1.알고리즘과 복잡도보통

정렬된 배열에서 양 끝에서 포인터를 하나씩 안쪽으로 움직이며 합이 목표값인 두 원소를 찾습니다. 시간 복잡도는 무엇입니까?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.알고리즘과 복잡도어려움

벨만-포드 알고리즘은 출발점에서 도달 가능한 음의 가중치 사이클을 어떻게 탐지합니까?

  1. A다익스트라 알고리즘을 두 번 실행하여 두 거리 결과를 비교한다
  2. B음의 가중치를 가진 간선이 있는지 확인한다
  3. CV − 1 라운드 후 아직 완화할 수 있는 간선이 있는지 확인한다
  4. D깊이 우선 탐색으로 사이클 수를 센다
3.자료구조보통

실제로 배열 순회가 같은 길이의 연결 리스트 순회보다 훨씬 빠른 경우가 많은 이유는 무엇입니까?

  1. A배열은 값 비교에 더 적은 명령어를 쓰기 때문에
  2. B배열 순회는 전체가 O(1)이고 연결 리스트 순회는 O(n)이기 때문에
  3. C연결 리스트는 항상 원소를 디스크에 저장하기 때문에
  4. D배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에
4.자료구조어려움

기수 트리(radix tree, 압축 트라이)는 일반 트라이를 어떻게 개선합니까?

  1. A자식이 하나인 노드들의 사슬을 문자열로 레이블된 간선 하나로 합친다
  2. B각 단어를 개별 노드가 아니라 루트의 해시 테이블에 저장한다
  3. C각 노드의 자식을 빈도순으로 정렬한다
  4. D각 단어의 첫 글자만 유지한다
5.그래프 이론보통

트리에 차수가 3인 정점 2개, 차수가 5인 정점 3개, 차수가 2인 정점 2개이(가) 있고 나머지 정점은 모두 잎(차수 1)이다. 잎은 몇 개(L)인가?

2 × deg 33 × deg 52 × deg 2
L =
6.그래프 이론어려움
137510144132ABCDEF

다익스트라 알고리즘이 A에서 시작한다. 5단계에서 확정(영구 결정)되는 정점을 클릭하세요. A 자신은 1단계이다.

시작: A단계 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3용액

1.알고리즘과 복잡도

답: D · O(n)

이것이 답인 이유

합이 너무 작으면 왼쪽 포인터가 오른쪽으로, 너무 크면 오른쪽 포인터가 왼쪽으로 움직이므로 단계는 최대 n번입니다.

답

D · O(n)
2.알고리즘과 복잡도

답: C · V − 1 라운드 후 아직 완화할 수 있는 간선이 있는지 확인한다

이것이 답인 이유

진짜 최단 거리는 모두 V − 1 라운드 안에 구해집니다. 그 후에도 간선을 개선할 수 있다면 음의 사이클이 존재해야 합니다.

답

C · V − 1 라운드 후 아직 완화할 수 있는 간선이 있는지 확인한다
3.자료구조

답: D · 배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에

이것이 답인 이유

연속된 메모리는 참조 지역성이 좋지만, 연결된 노드는 흩어져 있어 캐시 미스를 많이 일으킬 수 있습니다.

답

D · 배열 원소는 연속되어 있어 CPU 캐시를 잘 활용하기 때문에
4.자료구조

답: A · 자식이 하나인 노드들의 사슬을 문자열로 레이블된 간선 하나로 합친다

이것이 답인 이유

분기가 없는 경로를 접으면 접두사 탐색은 유지하면서 노드 수와 메모리 사용량이 줄어듭니다.

답

A · 자식이 하나인 노드들의 사슬을 문자열로 레이블된 간선 하나로 합친다
5.그래프 이론

답: L = 13

오일러, 해밀턴, 트리: 연결 그래프는 모든 정점의 차수가 짝수이면 오일러 회로(모든 간선을 한 번씩 지나 출발점으로 돌아옴)를 가지고, 차수가 홀수인 정점이 정확히 두 개이면 회로가 아닌 오일러 경로를 가집니다. 이 경로는 한 홀수 정점에서 다른 홀수 정점까지 이어집니다. 해밀턴 회로는 모든 정점을 한 번씩 방문하며, Kn에는 (n − 1)!/2개가 있습니다. 정점이 n개인 트리는 간선이 n − 1개이고, 간선이 m개인 연결 그래프는 m − n + 1개의 간선을 제거한 뒤에도 신장 트리를 유지합니다.

트리에 대한 악수 보조정리

L + 25 = 2(L + 7) − 2
L = 13

답

L = 13

지름길: 차수 d ≥ 3인 정점에 대해 L = 2 + Σ (d − 2).

6.그래프 이론

답: D

최단 경로와 신장 트리: 다익스트라 알고리즘은 매 단계에서 정점 하나를 확정합니다. 임시 거리가 가장 작은 미확정 정점입니다. 그 거리는 최종 값이 되고, 모든 이웃 v는 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))로 갱신됩니다. 크루스칼 알고리즘은 간선을 가벼운 것부터 골라 사이클을 만드는 간선을 건너뛰면서 최소 신장 트리를 만들고, 프림 알고리즘은 시작 정점에서 트리 하나를 키우며 트리에서 뻗어 나가는 가장 가벼운 간선을 항상 추가합니다. 정점이 n개인 신장 트리는 간선이 n − 1개입니다.

단계별 다익스트라

1. A (0): B: 13, C: 7
2. C (7): B: 12, E: 21
3. B (12): D: 22, E: 14
4. E (14): D: 18
5. D (18): F: 31
6. F (31)

단계 5

D

답

D

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